№36226

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Аглая является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно \(t^{2}\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(2t\) единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно \(t^{2}\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(5t\) единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Аглая платит рабочему 500 рублей. Аглае нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Ответ

5800000

Решение № 36212:

Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(x^{2}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе,— \(y^{2}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(2x+5y\) единиц товара, а затраты на оплату труда составят \(500(x^{2}+y^{2})\) рублей. Обозначим \(500(x^{2}+y^{2})\) через \(a\), т. е. введём параметр (целевую функцию. Таким образом, нужно найти наименьшее значение функции \(а = 500(х2 + у2) при условии \(2x+5y=580\), откуда \(5y=580-2x\). Тогда \(a=500(x^{2}+y^{2})=20(25x^{2}+(5y)^{2})\). Поэтому \(a=20(25x^{2}+(580-2x)^{2})=20(29x^{2}-4\cdot 580x+580^{2})\), где \(0\leq x\leq 290\) (объясните почему). Наименьшего значения а достигает в той же точке, в которой достигает наименьшего значения квадратичная функция \(y=29x^{2}-4\cdot 580x+580^{2}\), т. е. в точке \(x=x_{0}=\frac{4\cdot 580}{2\cdot 29}=40\). В этом случае \(a=20(29\cdot 40^{2}-4\cdot 580\cdot 40+580^{2})=2000(29\cdot 16-58\cdot 16+58^{2})=2000(58^{2}-29\cdot 16)\). Далее, \(2000(58^{2}-58\cdot 8)=2000\cdot 58\cdot (58-8)=2000\cdot 58\cdot 50=58\cdot 100000=5800000. Ответ. 5,8 млн рублей.