№36225

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство \(x\) тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0,5x^{2}+x+7\) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене \(p\) тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(px-(0,5x^{2}+x+7)\). Когда завод будет построе, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении \(p\) строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Ответ

9

Решение № 36211:

Из условия следует, что ежегодная прибыль \(a\) фирмы (в млн рублей) равна \(px-(0,5x^{2}+x+7)\), т.е. \(a=-0,5x^{2}+(p-1)x-7\). График функции \(a=-0,5x^{2}+(p-1)x-7\) — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшего значения эта функция достигает в точке \(x_{0}\), являющейся абсциссой вершины параболы, т. е. в точке \(x_{0}=-\frac{p-1}{2\cdot (-0,5)}=p-1\). Тогда наибольшее значение функции \(a=-0,5x^{2}+(p-1)x-7\) будет равно \(\frac{(p-1)^{2}}{2}-7\). Строительство завода окупится не более чем за 3 года, если \(3\cdot \left (\frac{(p-1)^{2}}{2}-7\right )\geq 75\), откуда \((p-1)^{2}\geq 64\), и \((p-9)(p+7)\geq 0\). Множеством решений последнего неравенства является \((-\infty; -7]\cup [9; +\infty)\). Наименьшим неотрицательным (поскольку цена продукции не может быть отрицательной) решением неравенства будет \(p=9\). Ответ. 9.