№36224

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Геннадий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно \(t^{2}\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(t\) единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Геннадий платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей. Геннадий готов выделять 900000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ

90

Решение № 36210:

Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(x\^{2}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе,— \(y^{2}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(x+y\) единиц товара, а затраты на оплату труда составят \(250x^{2}+200y^{2}\) рублей. Обозначим \(x+y\) через \(a\), т. е. введём параметр (целевую функцию). Таким образом, нужно найти наибольшее значение величины \(a=x+y\) при условии \(250x^{2}+200y^{2}=900000\), откуда \(5x^{2}+4y^{2}=18000\). Из равенства \(a=x+y\) находим \(y=a-x\). Тогда \(5x^{2}+4(a-x)^{2}=18000\), где \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(a\geq 0\). Требуется найти наибольшее значение \(a\), при котором уравнение \(5x^{2}+4(a-x)^{2}=18000\) имеет хотя бы один неотрицательный корень. Полученное уравнение после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых примет вид \(9x^{2}-8ax+4a^{2}-18000=0\). Последнее уравнение является квадратным. Оно имеет хотя бы один корень, только если его дискриминант \(D\) неотрицателен, или (что то же) если \(\frac{D}{4}\geq 0\). Поскольку \(\frac{D}{4}=16a^{2}-9(4a^{2}-18000)=9\cdot 18000-20a^{2}=20(8100-a^{2})\), из условия неотрицательности дискриминанта получаем неравенство \(8100-a^{2}\geq 0\), откуда \(a^{2}\leq 8100\), т. е. \(|a|\leq 90\). Значит, искомым наибольшим значением является \(a=90\). В этом случае \(D=0\) и \(x=\frac{4a}{9}=40>0\); \(y=a-x=90-40=50>0\). Ответ. 90.