№36223

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно \(t^{2}\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(3t\) единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно \(t^{2}\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(4t\) единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5000000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ

500

Решение № 36209:

Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(x^{2}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе,—\(y^{2}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(Зx+4y\) единиц товара, а затраты на оплату труда составят \(500(x^{2}+y^{2})\) рублей. Обозначим \(3x+4y\) через а, т. е. введём целевую функцию. Таким образом, нужно найти наибольшее неотрицательное \(a=Зx+4y\) при условии \(500(x^{2}+y^{2})=5000000\), откуда \(y=\frac{a-3x}{4}\) (или \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\)) и \(x^{2}+y^{2}=10000\), где \(0\leq x\leq 100\), \(0\leq y\leq 100\) (объясните почему). Как уже отмечалось, задачу можно решить несколькими способами, три из которых и будут рассмотрены ниже. Первый способ — метод областей: уравнение \(x^{2}+y^{2}=10000\) является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом 100 на плоскости \(Оxy\), а уравнение \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\) — уравнением прямой, пересекающей оси координат в точках \(A\left (0; \frac{a}{4}\right )\) и \(B\left (\frac{a}{3}; 0\right )\). Требуется найти наибольшее значение параметра \(a\), при котором прямая \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\) имеет с окружностью хотя бы одну общую точку. Ясно, что в силу условий \(x\geq 0\) и \(y\geq 0\) наибольшему значению \(a\) будет отвечать случай касания прямой и окружности в точке \(K\) (см. рис. ниже) первой координатной четверти (указанные условия позволяют рассматривать, вообще говоря, только часть окружность, расположенную в этой четверти). Искомое значение а можно найти, записав площадь \(S\) треугольника \(ОАВ\) двумя разными способами: как полупроизведение катетов \(ОА=\frac{a}{4}\) и \(ОВ=\frac{a}{3}\) и как полупроизведение высоты \(ОК\) (равной радиусу окружности) на гипотенузу \(АВ=\sqrt{ОА^{2}+OB^{2}=\sqrt{\left (\frac{a}{4}\right )^{2}+\left (\frac{a}{3}\right )^{2}}=\frac{5a}{12}\). Отсюда \(\frac{a}{4}\cdot \frac{a}{3}=100\cdot \frac{5a}{12}\) и \(a=500\). Второй способ аналогичен тому, что был использован при решении примера 15, и заключается в подстановке \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\) в уравнение \(x^{2}+y^{2}=10000\). После такой подстановки получим квадратное уравнение относительно переменной \(x\). Требуется найти наибольшее значение \(a\), при котором уравнение имеет хотя бы один корень. Это значение находится из условия неотрицательности дискриминанта уравнения. Такой метод решения подобных задач иногда называют методом введения параметра. Приведём решение, выполнив указанную подстановку: \(x^{2}+\left (-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\right )^{2}=10000\), откуда \(x^{2}+\frac{9}{16}x^{2}-\frac{3}{8}ax+\frac{a^{2}}{16}=10000\). После преобразований получим \(25x^{2}-6ax+a^{2]-160000=0\). Полученное уравнение имеет хотя бы один корень, только если его дискриминант \(D\) неотрицателен, или (что то же) если \(\frac{D}{4}\geq 0\). Поскольку \(]frac{D}{4}=9a^{2]-25(a^{2}-160000)=16(250000-a^{2})\), из условия неотрицательности дискриминанта получаем неравенство \(250000-a^{2}\geq 0\), откуда \(a^{2}\leq 250000\), т. е. \(|a|\leq 500\). Значит, искомым наибольшим значением является \(a=500\). В этом случае \(D=0\) и \(x=\frac{3a}{25}=60\); \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}=-\frac{3}{4}\cdot 60+\frac{500}{4}=80\). Эти значения, очевидно, удовлетворяют неравенствам \(0\leq x\leq 100\) и \(0\leq y\leq 100\). Третий способ основан на вычислении наибольшего значения функции \(a=Зx+4y\) при условии \(x^{2}+y^{2}=10000\), из которого с учётом неотрицательности всех переменных получим \(y=\sqrt{10000-x^{2}}\), и, значит, \(a=Зx+4\sqrt{10000-x^{2}}\). Найти наибольшее значение полученной функции можно по крайней мере двумя способами: с помощью производной (для этого придётся использовать формулу производной сложной функции) и с помощью неравенства \(\vec{m}\cdot \vec{n}\leq |\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\), которое было использовано при решении примера 16 и знак равенства в котором достигается только при условии сонаправленности векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), т. е. при условии равенства отношений их соответствующих координат отношению длин этих векторов. Рассмотрим оба способа. Производная функции \(a=Зx+4\sqrt{10000-x^{2}\) вычисляется, как уже отмечалось, по формуле производной сложной функций: \(a'=3-\frac{4x}{\sqrt{10000-x^{2}}\). Точки экстремума находятся из условия равенства нулю производной: \(3-\frac{4x}{\sqrt{10000-x^{2}}=0\), откуда \(\frac{4x}{\sqrt{10000-x^{2}}=3\). После возведения в квадрат обеих частей последнего равенства получим \(\frac{16x^{2}}{10000-x^{2}}=9\) и \(x^{2}=3600\). С учётом неотрицательности переменной \(x\) находим, что \(x=60\). Если \(x\in (0; 60)\), то \(a'>0\); если \(x\in (60; 100)\), то \(a'<0\). Значит, \(x=60\) — точка максимума, и, поскольку это единственная точка экстремума на промежутке \((0; 100)\), наибольшее значение функции \(a=Зx+4\sqrt{10000-x^{2}\) достигается в этой точке и равно \(3\cdot 60+4\sqrt{10000-60^{2}=3\cdot 60+4\cdot 80=500\). В заключение обзора методов решения этой задачи рассмотрим, как найти наибольшее значение функции (a=3x+4\sqrt{10000-x^{2}\) с помощью векторной алгебры. Введём векторы \(\vec{m}{3; 4}\) и \(\vec{n}{х; \sqrt{10000-x^{2}}\). Тогда \(|\vec{m}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}=5\), \(|\vec{n}|=\sqrt{x^{2}+(\sqrt{10000-x^{2}})^{2}}=100\). Поскольку \(a=\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos(\widehat{\vec{m}, \vec{m}})\leq |\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\), получим, что \(a\leq 500\), т. е. наибольшее значение \9a\) равно 500. Как уже отмечалось, оно достигается, если векторы \(\vec{m}{3; 4}\) и \(\vec{n}{x; \sqrt{10000-x^{2}}\) сонаправлены, т. е. если отношения их соответствующих координат равны отношению длин этих векторов: \(\frac{x}{3}=\frac{\sqrt{10000-x^{2}}{4}=\frac{100}{5}\), откуда \(x=60\). Ответ. 500.