№36222

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Найдите наибольшее значение выражения \(3\sqrt{4t+5}+4\sqrt{31-4t\). При каком значении \(t\) оно достигается?

Ответ

30; 1,99

Решение № 36208:

Данное выражение определено при \(-\frac{5}{4}\leq t\leq \frac{31}{4}\), т. е. при \(t\in [-1,25; 7,75]\). Стандартный способ решения задачи основывается на исследовании функции \(a=3\sqrt{4t+5}+4\sqrt{31-4t}\) на отрезке \([-1,25; 7,75]\) с помощью производной. Покажем, как можно решать подобные задачи с помощью векторной алгебры. Введём векторы \(\vec{m}{3; 4}\) и \(\vec{n}{\sqrt{4t+5}; \sqrt{31-4t}}\). Вычислим длины этих векторов: \(|\vec{m}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\), \(|\vec{n}|=\sqrt{(\sqrt{4t+5})^{2}+(\sqrt{31-4t})^{2}=6\). Тогда \(a=\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})\). Поскольку \(cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})\leq 1\), наибольшее значение \(a\) будет равно \(|\vec{m}|\cdot \vec{n}}|=5\cdot 6=30\). Оно достигается, если \(cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})=1\), т. е. \(\widehat{\vec{m}, \vec{n}}=0\). Последнее возможно, только если векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены, т. е. если отношения их соответствующих координат равны одному и тому же положительному числу—отношению длин этих векторов: \(\frac{\sqrt{4t+5}}{3}=\frac{\sqrt{31-4t}}{4}=\frac{6}{5}\), откуда \(t=1,99\). Ответ. \(max(3\sqrt{4t+5}+4\sqrt{31-4t}=30\) при \(t=1,99\).