№36221

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \(2x+Зy\), если \(4x^{2}+9y^{2}=50\).

Ответ

\(min(2x+3y)=-10\), \(max(2x+3y)=10\)

Решение № 36207:

Пусть \(a=2x+Зy\). Тогда \(Зy=a-2x\). Поскольку \(4x^{2}+9y^{2}=50\), получим, что \(4x^{2}+(a-2x)^{2}=50\), откуда \(8x^{2}-4ax+a^{2}-50=0\). Для решения задачи остаётся найти наибольшее и наименьшее значения \(a\), при которых квадратное уравнение \(8x^{2}-4ax+a^{2}-50=0\) имеет хотя бы один корень. Последнее будет выполнено в том и только том случае, если дискриминант \(D\) уравнения неотрицателен, или (что то же) если \(\frac{D}{4}\geq 0\). В данном случае \(\frac{D}{4}=4a^{2}-8(a^{2}-50)=4(100-a^{2})\), откуда \(100-a^{2}\geq 0\), т. е. \(a^{2}\leq 100\), и, значит, \(a\in [-10; 10]\). Поэтому \(min(2x+Зy)=-10\), \(max(2x+Зy)=10\). Ответ. \(min(2x+3y)=-10\), \(max(2x+3y)=10\).