№36220

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Найдите наименьшее значение выражения \(4x^{2}+9y^{2}\), если \(2x+3y=20\).

Ответ

200

Решение № 36206:

Пусть \(a=4x^{2}+9y^{2}\). Из условия задачи следует, что \(Зy=20-2x\). Тогда \(a=4x^{2}+(20-2х)^{2}=8(x^{2}-10x+50)\). Для решения задачи остаётся найти наименьшее значение квадратичной функции \(y=x^{2}-10x+50\). Оно достигается в точке \(x_{0}=\frac{10}{2}=5\) и равно \(5^{2}-10\cdot 5+50=25\). При этом \(a=8\cdot 25=200\). Ответ. 200.