№36219

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 9 часов работы станка \(А\) и 11 часов работы станка \(Б\). Для изготовления изделия второго типа требуется 1.3 часов работы станка \(А\) и 3 часа работы станка \(Б\) (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок \(А\) может работать не более 130 часов в месяц, а станок \(Б\) — не более 88 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 22000 д. е. прибыли, а каждое изделие второго типа — 26000 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.

Ответ

4; 7; 270000

Решение № 36205:

1. Пусть \(x\) — число изделий первого типа, \(y\) — число изделий второго типа, \(a\) — прибыль предприятия. Тогда \(a=22000x+26000y\). Обозначим \(\frac{a}{26000}\) буквой \(b\). Тогда \(b=\frac{11}{13}x+y\). Ясно, что доход \(a\) будет максимальным при максимальном \(b\). При этом \(y=-\frac{11}{13}x+b\) — уравнение целевой прямой. Условия производства даются системой неравенств \(\left\{\begin{matrix} 9x+13y\leq 130, \\11x+3y\leq 88, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. 2. На координатной плоскости \(Оxy\) полученная система неравенств задаёт четырёхугольник \(ОАВС\) с внутренней областью, ограниченнои осями координат и прямыми \(y=-\frac{9}{13}x+10\) и \(y=-\frac{11}[3}x+\frac{88}{3}\) (см. рис. ниже). Прямая \(y=-\frac{11}{13}x+b\) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссои \(\frac{13b}{11}\), а ось ординат — в точке с ординатой \(b\) (напомним, что \(b\geq 0\)). Наибольшее значение каждой из этих величин соответствует максимальной прибыли \(a\) и достигается, если прямая \(y=-\frac{11}{13}x+b\) проходит через точку \(В\) — точку пересечения прямых \(y=-\frac{9}{13}x+10\) и \(y=-\frac{11}{3}x+\frac{88}{3}\). Если хотя бы одна из координат точки \(В\) не оудет целой, для решения задачи придётся использовать метод опорных точек. Абсцисса и ордината точки \(В\) находятся из системы уравнений \(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{9}{13}x+10, \\y=-\frac{11}{3}x+\frac{88}{3} \end{matrix}\right.\) и равны соответственно 6,5 и 5,5, т. е. не являются целыми. Применим метод опорных точек. Ближайшими к В точками с целыми ординатами являются точки с ординатами 5 и 6. Если \(y=5\), то должны выполняться неравенства \(\left\{\begin{matrix} 9x+13\cdot 5\leq 130, \\11x+3\cdot 5\leq 88 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} x\leq 7\frac{2}{9}, \\x\leq 6\frac{7}{11} \end{matrix}\right.\). Наибольшим целым решением последней системы является \(x=6\). Если \(y=6\), то должны выполняться неравенства \(\left\{\begin{matrix} 9x+13\cdot 6\leq 130, \\11x+3\cdot 6\leq 88\end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} x\leq 5\frac{7}{9}, \\x\leq 6\frac{4}{11}\end{matrix}\right.\). Наибольшим целым решением последней системы является \(x=5\). Таким образом, в качестве опорных точек будем рассматривать точки \(М(5;6)\) и \(N(6; 5)\). 3. Выберем из найденных опорных точек ту, которая соответствует большему значению целевой функции, т. е. большему значению \(b\). Модуль углового коэффициента прямой \(MN\) равен \(\frac{6-5}{6-5}=1\). Модуль углового коэффициента целевой прямой \(y=-\frac{11{{13}x+b\) равен \(\frac{11}{13}< 1\). Поэтому искомой точкой будет точка \(М\). Найдём уравнение опорной целевой прямой, проходящей через точку \(М(5; 6)\). Для этого подставим координаты точки в уравнение прямой: \(6=-\frac{11}{13}\cdot 5+b\), откуда \(b=\frac{133}{13}=10\frac{3}{13}\). Уравнение опорной целевой прямой: \(y=-\frac{11}{13}x+\frac{133}{13}\). 4. Остаётся установить, будут ли находиться в области, ограниченной найденной опорной прямой (и расположенной не ниже неё) и сторонами многоугольника, другие точки с целочисленными координатами. Если таких точек нет, то оптимальное решение даёт выбранная опорная точка \(М\). Если такие точки есть, оптимальное решение даёт одна из них. Найдём точки пересечения опорной прямой с прямыми \(y=-\frac{9}{13}x+10\) и \(y=-\frac{11}[3}x+\frac{88}{3}\). Для этого решим уравнения \(-\frac{11}{13}x+\frac{133}{13}=-\frac{9}{13}x+10\) и \(-\frac{11}{13}x+\frac{133}{13}=-\frac{11}{3}x+\frac{88}{3}\). Корнем первого уравнения является \(x=\frac{3}{2}\), и тогда \(y=-\frac{9}{13}\cdot \frac{3}{2}+10=\frac{233}{26}=8\frac{25}{26}\). Корнем второго уравнения является \(x=\frac{149}{22}=6\frac{17}{22}\), и тогда \(y=-\frac{11}{3}\cdot \frac{149}{22}+\frac{88}{3}=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}\). Таким образом, в область, ограниченную опорной прямой и прямыми \(y=-\frac{9}{13}x+10}\) и \(y=-\frac{11}{3}x+\frac{88}{3}\) могут попасть только точки с целыми ординатами 5, 6, 7, 8. Исключив уже рассмотренные точки с ординатами 5 и 6, получим всего две точки с целыми ординатами, которые могут оказаться в указанной области. Если \(y=7\), то должны выполняться неравенства \(\left\{\begin{matrix} 9x+13\cdot 7\leq 130, \\11x+3\cdot 7\leq 88, \\11x+13\cdot 7\geq 133 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} x\leq 4\frac{1}{3}, \\x\leq 6\frac{1}{11}, \\x\geq 3\frac{9}{11} \end{matrix}\right.\). Единственным целым решением последней системы является \(x=4\). Если \(y=8\), то должны выполняться неравенства \(\left\{\begin{matrix} 9x+13\cdot 8\leq 130, \\11x+3\cdot 8\leq 88, \\11x+13\cdot 8\geq 133 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} x\leq 2\frac{8}{9}, \\x\leq 5\frac{9}{11}, \\x\geq 2\frac{7}{11} \end{matrix}\right.\). Полученная система не имеет целых решений. Таким образом, области, ограниченной опорной целевой прямой (и расположенной выше неё) и сторонами многоугольника, принадлежит ровно одна точка с целыми координатами \(x=4\) и \(y=7\). Именно эта точка и даёт оптимальное решение задачи. 5. Вычислим значение целевой функции в найденной точке: \(a=2000(11x+13y)=2000(11\cdot 4+13\cdot 7)=270000\). Ответ. 4 изделия первого типа; 7 изделий второго типа; максимальная прибыль равна 270000 д. е.