№36218

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 36 квадратных метров каждый. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1100 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 3000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму (в рублях) сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Ответ

151000

Решение № 36204:

1. Обозначим через \(x\) число стандартных номеров, через \(y\) — число номеров «люкс», через \(a\) — суточный доход предпринимателя от аренды номеров. Тогда \(\left\{\begin{matrix} 27x+36y\leq 1100, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} 3x+4y\leq \frac{1100}{9}, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\) или \(\left\{\begin{matrix} y\leq -\frac{3}{4}x+\frac{275}{9}, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\). При этом \(a=3000x+5000y=5000 \left (\frac{3}{5}x+y\right )\). Обозначим \(]frac{a}{5000}\). буквой \(b\). Ясно, что доход \(a\) будет максимальным при максимальном \(b\). Итак \(b=\frac{3}{5}x+y\), откуда \(y=-\frac{3}{5}x+b\) — уравнение целевой прямой. Таким образом, \(y\leq -\frac{3}{4}x+\frac{275}{9}\); \(y=-\frac{3}{5}x+b\); \(x\geq 0\); \(y\geq 0\); \(b\geq 0\). 2. Заметим, что \(\frac{275}{9}=30\frac{5}{9}\). Неравенства \(y-\frac{3}{4}x+30\frac{5}{9}\), \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) задают в первой четверти координатной плоскости \(Оxy\) прямоугольный треугольник \(АОВ\) вместе с его внутренней областью, ограниченной прямой \(y=-\frac{3}{4}x+30\frac{5}{9}\) и осями координат. Координаты вершин треугольника: \(A\left (0; 30\frac{5}{9}\right )\), \(O(0; 0)\), \(B\left (40\frac{20}{27}; 0\right )\) (см. рис. ниже). 3. Требуется найти максимальное значение \(b\geq 0\), при котором целевая прямая будет иметь с указанной областью хотя бы одну общую точку с целочисленными координатами. Поскольку модуль углового коэффициента целевой прямой меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), значение \(b\) будет максимальным, если целевая прямая проходит через точку \(А\). Но ордината точки \(А\) не является целым числом. Опорной точкой в данном случае будет точка \((0; 30)\), а уравнением опорной целевой прямой — уравнение \(y=-\frac{3}{5}x+30\). 4. Найдём координаты точки пересечения опорной прямой и прямой \(АВ\). Для этого решим уравнение \(-\frac{3}{5}x+30=-\frac{3}{4}x+30\frac{5}{9}\), откуда \(x=\frac{100}{27}=3\frac{19}{27}\). Тогда \(y=-\frac{3}{5}\cdot \frac{100}{27}+30=27\frac{7}{9}\). Следовательно, допустимыми ординатами являются 30, 29, 28. Для точек с одинаковыми ординатами наибольшее значение \(b\) будет у той из целевых прямых \(y=-\frac{3}{5}x+b\), которая проходит через точку с большей абсциссой. 5. Найдём соответствующие абсциссы. Если \(y=30\), то \(27x+36\cdot 30\leq 1100\), откуда \(x\leq \frac{20}{27}\). Единственным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=0\). Если \(y=29\), то \(27x+36\cdot 29\leq 1100\), откуда \(x\leq 2\frac{2}[27}\). Максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=2\). Если \(y=28\), то \(27x+36\cdot 28\leq 1100\), откуда \(x\leq 3\frac{11}{27}\). Максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=3\). 6. Вычислим значения целевой функции в найденных точках. Для наглядности приведём результаты вычислений в виде таблицы (см. рис. ниже). Ответ. 151000