№36217

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём небольшой апарттель. В отеле могут быть стандартные номера-апартаменты площадью 40 квадратных метров и номера-апартаменты «люкс» площадью 80 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под апартаменты, равна 700 квадратным метрам. Предприниматель может поделить эту площадь между апартаментами различных типов, как хочет. Стандартные апартаменты будут приносить отелю 4000 рублей в сутки за номер, апартаменты «люкс» —10 000 рублей в сутки за номер. Какую наибольшую сумму (в рублях) сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Ответ

84000

Решение № 36203:

Обозначим через \(x\) число стандартных апартаментов, через \(y\) — число апартаментов «люкс», через \(a\) — суточный доход предпринимателя от аренды апартаметов. Тогда \(\left\{\begin{matrix} 40x+80y\leq 700, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} 2x+4y\leq 35, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), или \(\left\{\begin{matrix} y\leq -\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\). При этом \(a=4000x+10000y=10000\left (\frac{2}{5}x+y\right )\). Обозначим \(\frac{a}{10000}\) буквой \(b\). Ясно, что доход \(a\) будет максимальным при максимальном \(b\). Итак \(b=\frac{2}{5}x+y\), откуда \(y=-\frac{2}{5}x+b\). Таким образом, \(y\leq -\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\); \(y=-\frac{2}{5}x+b\); \(x\geq 0\); \(y\geq 0\); \(b\geq 0\). Неравенства \(y\leq -\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\), \(x\geq 0\) задают в первой четверти координатной плоскости \(Оxy\) треугольник \(AOB\) вместе с его внутренней областью, ограниченной прямой \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\) и осями координат. Координаты вершин треугольника: \(А\left (0; \frac{35}{4}\right )\), \(O(0; 0)\), \(B\left (\frac{35}{2}; 0\right )\). Целевая прямая \(y=-\frac{2}{5}x+b\) пересекает оси координат в точках \((0; b)\) и \(\left (\frac{5b}{2}; \right )\). Требуется найти максимальное значение \(b\geq \), при котором прямая \(y=-\frac{2}{5}x+b\) будет иметь с указанной областью хотя бы одну общую точку с целочисленными координатами. Поскольку модуль углового коэффициента целевой прямой меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), значение \(b\) будет максимальным, если целевая прямая проходит через точку \(A\). Но ордината точки \(A\) не является целым числом, она равна \(\frac{35}{4}=8\frac{3}{4}\). Максимальная целая ордината для точек указанной области равна 8 (см. рис. ниже). Выберем точку \((0; 8)\) в качестве опорной. Тогда уравнением опорной прямой будет \(y=-\frac{2}{5}x+8\). Заметим, что в области, ограниченной осью ординат и прямыми \(y=-\frac{2}{5}x+8\) и \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\) (включая эти прямые), окажутся и другие точки с целыми координатами (на рисунке эти точки выделены). Найдём координаты этих точек. Сначала найдём точку пересечения прямых \(y=-\frac{2}{5}x+8\) и \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\), решив уравнение \(-\frac{2}{5}x+8=-\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\), откуда \(x=\frac{15}{2}=7,5\). Тогда \(y=-\frac{1}{2}\cdot \frac{15}{2}+\frac{35}{4}=5\). Следовательно, допустимыми ординатами являются 8; 7; 6. Для точек с одинаковыми ординатами наибольшее значение \(b\) будет у той из целевых прямых \(y=-\frac{2}{5}x+b\), которая проходит через точку с большей абсциссой. Найдём соответствующие абсциссы: • если \(y=8\), то \(2x+4\cdot 8\leq 35\), откуда \(x\leq \frac{3}{2}=1\frac{1}[2}\), и максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=1\); • если \(y=7\), то \(2x+4\cdot 7\leq 35\), откуда \(x\leq \frac{7}{2}=3\frac{1}{2}\) и максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=3\); • если \(y=6\), то \(2x+4\cdot 6\leq 35\), откуда \(x\leq \frac{11}{2}=5\frac{1}{2}\) и максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=5\). Вычислим значения целевой функции в найденных точках. Для наглядности приведём результаты вычислений в виде таблицы (см. рис. ниже). Ответ. 84000.