№36216

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Малое предприятие выпускает изделия двух типов Для изготовления изделия первого типа требуется пять часов работы станка \(А\) и три часа работы станка \(Б\), а для изготовления изделия второго типа требуется два часа работы станка \(А\) и четыре часа работы станка \(Б\) (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок \(А\) может работать не более 150 часов в месяц, а станок \(Б\) — не более 132 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 300 д. е. прибыли, а каждое изделие второго типа — 200 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.

Ответ

24; 15; 10200

Решение № 36202:

Обозначим через \(x\) число изделий первого типа, через \(y\) — число изделий второго типа, а через \(a\) — прибыль предприятия. Тогда \(a=300x+200y\), откуда \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\). Ду, а условия производства даются системой неравенств \(\left\{\begin{matrix} 3x+2y\leq 150, \\3x+4y\leq 132, \\x\geq 0,\\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. На координатной плоскости \(Оxy\) система неравенств задаёт четырёхугольник \(ОАВС\) с внутренней областью, ограниченной осями координат и прямыми \(y=-\frac{5}{2}x+75\) и \(y=-\frac{3}{4}+33\) (см. рис. ниже). Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\) равен \(\frac{3}{2}\): он больше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), равного \(\frac{3}{4}\), но меньше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\), равного \(\frac{5}{2}\). Три различных положения прямой \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\) обозначены на рисунке цифрами: положение (1) соответствует значению а\(a=0\), положение (3) соответствует наибольшему возможному значению \(a\), положение (2) соответствует промежуточному между первыми двумя значению \(a\). Прямая \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой \(\frac{a}{300}\), а ось ординат — в точке с ординатой \(\frac{a}{200}\) (напомним, что \(a\geq 0\)). Наибольшее значение каждой из этих величин соответствует максимальной прибыли \(a\) и в данном случае достигается, если прямая \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\) проходит через точку \(В\) — точку пересечения прямых \(y=-\frac{5}{2}x+75\) и \(y=-\frac{3}{4}x+33\), абсцисса и ордината которой находятся из системы уравнений \(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{5}{2}x+75, \\y=-\frac{3}{4}x+33 \end{matrix}\right.\) и равны соответственно 24 и 15. Подставив эти абсциссу и ординату в уравнение прямой \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\), находим \(a=10200\). Ответ. 24 изделия первого типа; 15 изделий второго типа; максимальная прибыль равна 10200 д. е.