№36215

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения выражения \(2x+5y\), если известно, что \(2x+y\geq 12\), \(x+4y\geq 20\), \(Зх+5y\leq 46\).

Ответ

\(max(2x+5y)=44\); \(min(2x+5y)=28\)

Решение № 36201:

Обозначим \(b=2x+5y\). Тогда \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\). Данные неравенства можно переписать в виде \(y\geq 2x+12\), \(y\geq -\frac{1}{4}x+5\), \(y\leq -\frac{3}{5}x+\frac{45}{5}\). Воспользуемся графическими интерпретациями полученных неравенств. Неравенство вида \(y\geq kx+b\) (соответственно неравенство вида \(y\leq kx+b\)) означает, что ему удовлетворяют все точки \((x; y)\) координатной плоскости \(Оxy\), ордината каждой из которых не меньше (соответственно не больше) ординаты той точки прямой \(y=kx+b\), которая имеет ту же абсциссу. Таким образом, множество всех точек \((x; y)\) координатной плоскости \(Оxy\), координаты каждой из которых удовлетворяют неравенству \(y\geq kx+b\) (соответственно неравенству вида \(y\leq kx+b\)), — это множество всех точек плоскости \(Оxy\), которые расположены выше (соответственно ниже), т. е. над (соответственно под) прямой \(y\geq kx+b\) и на самой этой прямой. Чтобы найти множество всех тех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют каждому из данных неравенств, вычислим координаты точек попарного пересечения прямых \(y=-2x+12\), \(y=-\frac{1}{4}x+5\), \(y=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\). Для этого решим уравнения: \(-2x+12=-\frac{3}{5}x+\frac{45}{5}\), откуда \(x=2\), и тогда \(y=-2\cdot 2+12=8\); \(-\frac{1}{4}x+5=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\), откуда \(x=12\), и тогда \(y=-\frac{1}{4}\cdot12+5=2\); \(-2x+12=-\frac{1}{4}x+5\), откуда \(x=4\), и тогда \(y=-2\cdot 4+12=4\). Таким образом, точкой пересечения прямых \(y=-2x+12\) и \(y=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\) является точка \(А(2;8)\), точкой пересечения прямых \(y=-\frac{1}{4}x+5\) и \)y=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\) является точка \(В(12; 2)\), точкой пересечения прямых \(y=-2x+12\) и \(y=-\frac{1}{4}x+5\) является точка \(С(4; 4)\). Искомое множество — треугольник \(АВС\) вместе с внутренней областью. Теперь задачу можно переформулировать так: найти наибольшее и наименьшее значения \(b\), при которых прямая \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\) имеет хотя бы одну общую точку с областью координатной плоскости, ограниченной треугольником \(АВС\) (включая стороны треугольника). Прямая \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\) пересекает ось ординат в точке с ординатой \(\frac{b}{5}\), а ось абсцисс — в точке с абсциссой \(\frac{b}{2}\). Заметим, что модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\) больше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\) (y=-\frac{1}{4}x+5\)), но меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\) (\(y=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\)) и прямой \(ВС\) (y=-2x+12\)). На рис. ниже изображены три положения прямой \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\) для случаев, когда она проходит через одну из вершин треугольника \(АВС\). Наибольшее значение \(b\) достигается, если эта прямая проходит через точку \(А\). В этом случае \(b=2\cdot 2+5\cdot 8=44\). Наименьшее значение \(b\), достигается, если эта прямая проходит через точку \(С\). В этом случае \(b=2\cdot 4+5\cdot 4=28\). Ответ. \(max(2x+5y)=44\); \(min(2x+5y)=28\).