№36214

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Найдите наибольшее возможное значение \(b_{i}(i\in {1; 2; 3})\), при котором прямая \(l\) имеет хотя бы одну общую точку с областью, ограниченной изображённым на рис. ниже четырёхугольником \(ОАВС\) (включая стороны четырёхугольника), если \(l\) задана уравнением: 1) \(y=-\frac{1}{3}x+b_{1}\); 2) \(y=-\frac{7}{9}x+b_{2}\); 3) \(y=-\frac{13}{9}x+b_{3}\).

Ответ

1) \(b_{1}=9\); 2) \(b_{2}=12\); 3) \(b_{3}=20\frac{2}{9}\)

Решение № 36200:

Пусть прямая \(ВС\) пересекает ось ординат в точке \(Е\). Угловой коэффициент прямой \(АВ\) равен \(-\frac{4}{9}\) угловой коэффициент прямой \(ВС\) равен -1 (объясните почему). 1. Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{1}{3}x+b_{1}\) равен \(\frac{1}{3}\): он меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\) и меньше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\). Поэтому если провести прямую \(y=-\frac{1}{3}x+b_{1}\) через точку \(B\), то она пересечёт ось ординат в точке, лежащей ниже точки \(А\) (см. рис. ниже). Следовательно, наибольшее значение \(b_{1}\) получим, если прямая \(y=-\frac{1}{3}x+b_{1}\) проходит через точку \(А\), т. е. если \(b_{1}=9\). 2. Модуль утлового коэффициента прямой \(y=-\frac{7}{9}x+b_{2}\) равен: он больше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\) и меньше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\). Поэтому если провести прямую \(y=-\frac{7}{9}x+b_{2}\) через точку \(В\), то она пересечёт ось ординат в точке, лежащей выше точки \(А\), но ниже точки \(Е\) (см. рис. ниже). Следовательно, наибольшее значение \(b_{2}\) получим, если прямая \(y=-\frac{7}{9}x+b_{2}\) проходит через точку \(В\). В этом случае \(5=-\frac{7}{9}\cdot 9+b_{2}\) откуда \(b_{2}=12\). 3. Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{13}{9}x+b_{3}\) равен \(\frac{13}{9}\): он больше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\) и больше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\). Поэтому если провести прямую \(y=-\frac{13}{9}x+b_{3}\) через точку \(В\), то она пересечет ось ординат в точке, лежащей выше точки \(Е\) (см. рис. ниже). Следовательно, наибольшее значение \(b_{3}\) получим, если прямая \(y=-\frac{13}{9}x+b_{3}\) проходит через точку \(С\). В этом случае \(0=-\frac{13}{9}\cdot 14+b_[3}\) откуда \(b_{3}=20\frac{2}{9}\). Ответ. 1) \(b_{1}=9\); 2) \(b_{2}=12\); 3) \(b_{3}=20\frac{2}{9}\).