№36213

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Найдите наибольшее возможное значение \(b\), при котором прямая \(l\) имеет хотя бы одну общую точку с областью, ограниченной изображённым на рис. ниже прямоугольным треугольником \(АОВ\) (включая стороны треугольника), если \(l\) задана уравнением: 1) \(y=-\frac{4}{5}x+b\); 2) \(y=-\frac{2}{5}x+b\).

Ответ

16; 12

Решение № 36199:

Угловой коэффициент прямой \(AB\) равен \(-\frac{AO}{OB}=-\frac{12}{20}=-\frac{3}{5}\). 1. Прямая \(y=-\frac{4}{5}x+b\) пересекает ось абсцисс в точке с абсцис \(\frac{5b}{4}\). Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{4}{5}x+b\) равен \(\frac{4}{5}\) и больше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), равного \(\frac{3}{5}\). Поскольку оба угловых коэффициента отрицательны, это означает, что угол между прямой \(y=-\frac{4}{5}x+b\) и положительным направлением оси абсцисс будет меньше угла между прямой \(АВ\) и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому наибольшее значение \(b\) получим, если прямая \(y=-\frac{4}{5}x+b\) проходит через точку \(В\) (см. рис. ниже). В этом случае \(\frac{5b}{4}=20\), откуда \(b=16\). 2. Прямая \(y=-\frac{2}{5}x+b\) пересекает ось ординат в точке с ординатой \(b\). Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{2}{5}x+b\) равен \(\frac{2}{5}\) и меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), равного \(\frac{3}{5}\). Поскольку оба угловых коэффициента отрицательны, это означает, что угол между прямой \(y=-\frac{2}{5}+b\) и положительным направлением оси абсцисс будет больше угла между прямой \(АВ\) и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому наибольшее значение \(b\) получим, если прямая \(y=-\frac{2}{5}+b\) проходит через точку \(А\) (см. рис. ниже). В этом случае \(b=12\). Ответ. 1) 16; 2) 12.