№36210

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Бизнесмен купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть одноместные номера площадью 16 квадратных метров каждый и двухместные номера площадью 20 квадратных метров каждый. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 812 квадратных метров. Бизнесмен может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Из соображений конкурентоспособности он может выбрать одну из двух ценовых линеек: 1) 3200 рублей в сутки за одноместный номер и 3800 рублей в сутки за двухместный номер; 2) 3040 рублей в сутки за одноместный номер и 4000 рублей в сутки за двухместный номер. а) Сколько одноместных и сколько двухместных номеров должно быть в отеле для получения максимально возможного суточного дохода? б) Какую наибольшую сумму (в рублях) может при этом заработать в сутки на своём отеле бизнесмен?

Ответ

39; 162080

Решение № 36196:

1. Для первой ценовой линейки доход, который будет приносить бизнесмену 1 кв. м площади одноместного номера, равен \(\frac{3200}{16}=200\) рублей; доход, который будет приносить бизнесмену 1 кв. м площади двухместного номера, равен —190 рублей. Наименьшим общим кратным чисел 16 и 20 является 80. На площади 80 кв. м можно разместить 5 одноместных номеров или 4 двухместных номера. Но квадратный метр одноместного номера приносит больший доход, чем квадратный метр двухместного номера. Поэтому на каждых 80 кв. м площади здания выгоднее разместить 5 одноместных номеров. Поскольку общая площадь равна \(812=80\cdot 10+12\), получим 50 одноместных номеров и 12 кв. м в остатке. Этот остаток нужно использовать исходя из следующих рассуждений. Если к площади одноместного номера добавить 4 кв. м, получим площадь двухместного номера, а двухместный номер приносит больший доход, чем одноместный. Поскольку \(12=4\cdot 3\), нужно 3 одноместных номера заменить двухместными. Таким образом, получим 47 одноместных номеров и 3 двухместных номера. Максимально возможный суточный доход в этом случае составит \(47\cdot 3200+3\cdot 3800=161800\) рублей. 2. Для второй ценовой линейки доход, который будет приносить бизнесмену 1 кв. м площади одноместного номера, равен \(\frac{3040}{16}=190\) рублей; доход, который будет приносить бизнесмену 1 кв. м площади двухместного номера, равен \(\frac{4000}{20}=200\) рублей. Наименьшим общим кратным чисел 16 и 20 является 80. На площади 80 кв. м можно разместить 5 одноместных номеров или 4 двухместных номера. Но квадратный метр двухместного номера в данном случае приносит больший доход, чем квадратный метр одноместного номера. Поэтому на каждых 80 кв. м площади здания выгоднее разместить 4 двухместных номера. Поскольку общая площадь равна \(812=80\cdot 10+12\), получим 40 одноместных номеров и 12 кв. м в остатке. Этот остаток нужно использовать исходя из следующих рассуждений. Если к площади двухместного номера добавить 12 кв. м, получим площадь двух одноместных номеров, а два одноместных номера приносят больший доход, чем один двухместный. Значит, нужно один двухместный номер заменить двумя одноместными. Таким образом, получим 39 двухместных номеров и 2 одноместных номера. Максимально возможный суточный доход в этом случае составит \(2\cdot 3040+39\cdot 4000=162080\) рублей. Ответ. а) 39 двухместных номеров и 2 одноместных номера; б) 162080 рублей.