№36209

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Один из цехов фабрики, производящей пищевые полуфабрикаты, выпускает вареники со следующими видами начинки: картофельная и грибная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта (см. рис. ниже). Для выполнения условий ассортимента, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 44 тонн. Предполагая, что вся продукция цеха находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль (в млн рублей), которую может получить фабрика от производства вареников за 1 месяц.

Ответ

5.203

Решение № 36195:

Пусть \(x%\) производственных мощностей цеха занято под производство вареников с картофелем, а \((100-x)%\) производственных мощностей цеха занято под производство вареников с грибами. Тогда вареников с картофелем производится \(110\cdot \frac{x}{100}=1,1x\) тонн, а вареников с грибами производится \(80\cdot \frac{100-x}{100}=80-0,8x\) тонн. Согласно условию должны выполняться неравенства \(1,1x\geq 44\), откуда \(x\geq 40\), и \(80-0,8x\geq 44\), откуда \(x\leq 45\). Производство одной тонны вареников с картофелем приносит фабрике 50000 рублей прибыли, а производство одной тонны вареников с грибами — 62000 рублей прибыли. Поэтому прибыль составит \(a=50000\cdot 1,1x+62000(80-0,8x)\), откуда \(a=5400x+4960000\). Поскольку \(40\leq x\leq 45\), наибольшее значение прибыли будет достигаться при \(x=45\) и составит \(a=5400\cdot 45+4960000=5203000\) рублей. Ответ. 5,203.