№36208

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

В двух шахтах добывают алюминий и никель. На первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. На второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ

1050

Решение № 36194:

Пусть в первой шахте х рабочих, а во второй шахте у рабочих заняты на добыче алюминия. Составим таблицу по данным задачи (см. рис. ниже). Алюминия необходимо добывать вдвое больше никеля, поэтому \(5x+10y=2(700-10x-5y)\), откуда \(5x+4y=280\). В силу неотрицательности введённых переменных из условия задачи и последнего равенства следует, что \(x\leq 20\), \(y\leq 70\). Пусть \(a\) — масса сплава. По условию она должна быть втрое больше массы добытого никеля, т. е. \(a=3(700-10x-5y)\). Так как \(5x=280-4y\), после подстановки этого выражения в выражение \(a=3(700-10x-5y)\) и алгебраических преобразований получим, что \(a=3(140+Зy)\). Поскольку наибольшее возможное значение \(y\) равно 70 (при этом \(x=0\)), наибольшее возможное значение массы сплава составляет \(a=3(140+3\cdot 70)=1050\). Таким образом, 70 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче алюминия, а оставшиеся 30 рабочих второй шахты и все 20 рабочих первой шахты должны быть заняты на добыче никеля. При этом они добудут 700 кг алюминия и 350 кг никеля, а масса сплава будет равна 1050 кг. Ответ. 1050.