№35906

Экзамены с этой задачей: Задачи на кредиты

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на кредиты,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Ответ

10

Решение № 35892:

Пусть кредит планируется взять на \(n\) лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, т. е. на \(\frac{1}{n}\)-ю часть, поэтому суммы долга за каждый месяц (до начисления процентов) составят (в порядке убывания) \(16, 16-\frac{16}{n}=\frac{16(n-1)}{n}\, ..., \frac{16\cdot 2}{n}, \frac{16}{n}\). По условию каждый январь долг возрастает на 25 %, поэтому последовательность размеров платежей по процентам будет следующей: \(16\cdot 0,25=4\), \(\frac{16(n-1)}{n}\cdot 0,25=\frac{4(n-1}{n\), ..., \(\frac{20\cdot 2}{n}\cdot 0,25=\frac{4\cdot 2}{n}\), \(\frac{20}{n}\cdot 0,25=\frac{4}{n}\). Ежегодный платеж состоит из фиксированной суммы \(\frac{16}{n}\) и суммы платежа по процентам, поэтому ежегодные платежи составят соответственно \(\frac{16}{n}+4\), \(\frac{16}{n}+\frac{4(n-1)}{n}\), ..., \(\frac{16}{n}+\frac{4\cdot 2}{n}\), \(\frac{16}{n}+\frac{4}{n}\). Общая сумма \(S\) всех выплат составит \(S=16+4+\frac{4(n-1)}{n}+...+\frac{4}{n}\). Вынесем за скобки общий множитель всех слагаемых правой части последнего равенства начиная со второго: \(S=16+\frac{4}{n}(n+(n-1)+...+1)\). Сумму в скобках находим как сумму арифметической прогрессии: \(S=16+\frac{4}{n}\cdot \frac{n+1}{2}\cdot n=16+2(n+1)=2n+18\). По условию \(S=38\), откуда \(2n+18=38\) и \(n=10\). Ответ. 10.