№35905

Экзамены с этой задачей: Задачи на кредиты

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на кредиты,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

31 декабря 2014 года бизнесмен взял в банке кредит на 3 года под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: до 31 ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 10%), затем до истечения этого же платёжного периода (т. е. по 31 декабря того же года) бизнесмен переводит в банк определённую (одну и ту же для каждого года) сумму ежегодного платежа. Какой была сумма кредита (в рублях), если сумма ежегодного платежа составила 2662000 рублей?

Ответ

6620000

Решение № 35891:

Пусть \(S_{0}\) — сумма кредита, \(x\) — сумма ежегодной выплаты. Запишем суммы долга по истечении каждого платёжного периода: \(S_{1}=1,1S_{0}-x\); \(S_{2}=1,1S_{1}-x=(1,1)^{2}S_{0}-1,1x-x\); \(S_{3}=1,1S_{2}-x=(1,1)^{3}S_{0}-(1,1)^{2}x-1,1x-x\). Поскольку по истечении последнего платёжного периода долг равен 0, имеем \(S_{3}=0\), т. е. \((1,1)^{3}S_{0}-(1,1)^{2}x-1,1x-x=0\), откуда \(((1,1)^{2}+1,1+1)x=(1,1)^{3}S_{0}\), т. е. \(3,31x=1,331S_{0}\). Так как \(x=2662000\), получаем, что \(S_{0}=\frac{3,31\cdot 2662000}{1,331}=3,31\cdot 2000000=6620000\). Ответ. 6620000.