№35902

Экзамены с этой задачей: Задачи на кредиты

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на кредиты,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(r%\) по сравнению с концом предыдущего месяца; • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; • 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите г\(r\)

Ответ

3

Решение № 35888:

Пусть сумма кредита равна \(S_{0}\). По условию долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно, т. е. на \(\frac{1}{19}\) часть, поэтому суммы долга за каждый месяц (до начисления процентов) составят (в порядке убывания) \(S_{0}, \frac{18S_{0}}{19}, ..., \frac{2S_{0}}{19}, \frac{S_{0}}{19}\). Первого числа каждого месяца долг возрастает на \(r%\), поэтому последовательность размеров платежей по процентам будет следующей: \(\frac{r}{100}\cdot S_{0}\), \(\frac{r}{100}\cdot \frac{18S_{0}}{19}\), ..., \(\frac{r}{100}\cdot \frac{2S_{0}}{19}\), \(\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{19}\). Ежемесячный платёж состоит из фиксированной суммы \(\frac{S_{0}}{19}\) и суммы платежа по процентам. Ежемесячные платежи составят соответственно \(\frac{S_{0}}{19}+\frac{r}{100}\cdot S_{0}\), \(\frac{S_{0}}{19}+\frac{r}{100}\cdot \frac{18S_{0}}{19}\), ..., \(\frac{S_{0}}{19}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S_{0}}{19}\), \(\frac{S_{0}}{19}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{19}\). Общая сумма выплат будет равна \(S=S_{0}+\frac{rS_{0}}{1900}\frac{1+19}{2}\cdot 19=S_{0}+\frac{rS_{0}}{10}\), откуда \(S=S_{0}+\frac{rS_{0}}{1900}\frac{1+19}{2}\cdot 19=S_{0}+\frac{rS_{0}}{10}\). По условию \(S=1,3S_{0}\). Следовательно, \(1,3S_{0}=S_{0}+\frac{rS_{0}}{10}\), откуда \(\frac{r}{10}+10=1,3\), и \(r=3\). Ответ. 3