№35901

Экзамены с этой задачей: Задачи на кредиты

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на кредиты,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Иван планирует взять ипотечный кредит (кредит на покупку квартиры под залог квартиры) в банке на несколько лет под 10% годовых на следующих условиях: по истечении каждого года пользования кредитом он должен возвращать банку часть кредита, равную сумме кредита, делённой на число лет пользования кредитом (погашать кредит), и выплачивать банковские проценты за пользование кредитом в размере 10 % от не погашенной к моменту очередного платежа суммы кредита. Так, если кредит взят на 5 лет, то за первый год пользования кредитом Иван должен выплатить пятую часть суммы кредита и 10% от всей суммы кредита, за второй год — пятую часть суммы кредита и 10% от непогашенной суммы кредита, т. е. от \(\frac{4}{5}\) суммы кредита, и т. п. При оформлении кредита банк предложил Ивану выплачивать кредит ежемесячными равными платежами по следующей схеме: сумма кредита и сумма процентов за всё время пользования кредитом суммируются и делятся на число месяцев пользования кредитом. Иван принял предложение банка. Известно, что сумма ежемесячного платежа равна 30000 рублей, а сумма начисленных процентов оказалась равна сумме кредита. а) На сколько лет был взят кредит? б) Чему равна сумма кредита (в рублях)?

Ответ

19; 3420000

Решение № 35887:

Пусть сумма кредита равна \(S_{0}\), годовые составляют \(k%\), число лет кредита равно \(n\). Тогда сумма \(\delta\) выплат по процентам равна \(\delta=\frac{k(n+1)}{200}S_{0}\). а) По условию сумма процентов равна сумме кредита. Следовательно, \(\frac{k(n+1)}{200}S_{0}=S_{0}\), откуда \(k(n+1)=200\). Поскольку \(k=10\), получим, что \(n=19\). б) Сумма \(l\) ежемесячного платежа по предложенной банком схеме находится по формуле, \(l=\frac{S_{0}(k(n+1)+200)}{240n}\), откуда \(S_{0}=\frac{2400nl}{k(n+1)+200}\). Так как \(k=10\), \(n=19\), \(l=30000\), находим, что \(S_{0}=\frac{2400nl}{400}=6nl=6\cdot 19\cdot 30000=3420000\) рублей. Ответ. а) 19; б) 3420000.