№22219

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, содержащие выражения вида cos³(αx) ± sin³(αx),

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(cos^{8}x-sin^{8}x=cos^{2}2x+\frac{1}{2}cos2x, 180^{0}< x< 270^{0}\)

Ответ

NaN

Решение № 22210:

Для решения уравнения \( \cos^8 x - \sin^8 x = \cos^2 2x + \frac{1}{2} \cos 2x \) при \( 180^\circ < x < 270^\circ \), следуем пошагово: ```html <ol> <li>Используем формулу для разности восьмых степеней синуса и косинуса: \[ \cos^8 x - \sin^8 x = (\cos^2 x)^4 - (\sin^2 x)^4 \] </li> <li>Применяем формулу разности квадратов: \[ (\cos^2 x)^4 - (\sin^2 x)^4 = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^4 x + \sin^4 x) \] </li> <li>Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ (\cos^2 x - \sin^2 x)(1)(\cos^4 x + \sin^4 x) = \cos^2 x - \sin^2 x \] </li> <li>Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \] Тогда: \[ \cos^8 x - \sin^8 x = \cos 2x (\cos^4 x + \sin^4 x) \] </li> <li>Используем формулу для суммы четвёртых степеней синуса и косинуса: \[ \cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2 \cos^2 x \sin^2 x = 1 - 2 \cos^2 x \sin^2 x \] </li> <li>Подставляем \(\cos^2 x \sin^2 x\) через \(\sin^2 2x\): \[ \cos^2 x \sin^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x \] Тогда: \[ \cos^4 x + \sin^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x \] </li> <li>Подставляем в наше уравнение: \[ \cos^8 x - \sin^8 x = \cos 2x \left(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x\right) \] </li> <li>Из исходного уравнения: \[ \cos^8 x - \sin^8 x = \cos^2 2x + \frac{1}{2} \cos 2x \] Подставляем: \[ \cos 2x \left(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x\right) = \cos^2 2x + \frac{1}{2} \cos 2x \] </li> <li>Упрощаем уравнение: \[ \cos 2x - \frac{1}{2} \cos 2x \sin^2 2x = \cos^2 2x + \frac{1}{2} \cos 2x \] </li> <li>Переносим все члены на одну сторону: \[ \cos 2x - \frac{1}{2} \cos 2x \sin^2 2x - \cos^2 2x - \frac{1}{2} \cos 2x = 0 \] </li> <li>Выносим \(\cos 2x\) за скобку: \[ \cos 2x \left(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x - \cos 2x - \frac{1}{2}\right) = 0 \] </li> <li>Учитываем, что \(\cos 2x \neq 0\) в интервале \(180^\circ < x < 270^\circ\): \[ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x - \cos 2x - \frac{1}{2} = 0 \] </li> <li>Упрощаем уравнение: \[ 1 - \cos 2x - \frac{1}{2} \sin^2 2x - \frac{1}{2} = 0 \] \[ \frac{1}{2} - \cos 2x - \frac{1}{2} \sin^2 2x = 0 \] \[ \frac{1}{2} = \cos 2x + \frac{1}{2} \sin^2 2x \] </li> <li>Решаем уравнение: \[ \cos 2x + \frac{1}{2} \sin^2 2x = \frac{1}{2} \] </li> <li>Подставляем \(2x\) в интервале \(360^\circ < 2x < 540^\circ\): \[ 2x = 360^\circ + \alpha, \quad 0^\circ < \alpha < 180^\circ \] </li> <li>Находим \(\cos 2x\) и \(\sin 2x\): \[ \cos 2x = \cos (360^\circ + \alpha) = \cos \alpha \] \[ \sin 2x = \sin (360^\circ + \alpha) = \sin \alpha \] </li> <li>Подставляем в уравнение: \[ \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \] </li> <li>Решаем уравнение для \(\alpha\): \[ \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \] </li> <li>Находим \(\alpha\): \[ \alpha = 120^\circ \] </li> <li>Тогда: \[ 2x = 360^\circ + 120^\circ = 480^\circ \] </li> <li>Находим \(x\): \[ x = \frac{480^\circ}{2} = 240^\circ \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(x = 240^\circ\)</p> ```