№22196

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Разные задачи,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(log_{4-x^{2}}(sinx+cosx)=log_{4-x^{2}}sinx\)

Ответ

NaN

Решение № 22187:

Для решения уравнения \( \log_{4-x^{2}}(\sin x + \cos x) = \log_{4-x^{2}} \sin x \), следуем пошагово: <ol> <li>Используем свойство логарифмов, чтобы упростить уравнение: \[ \log_{4-x^{2}}(\sin x + \cos x) = \log_{4-x^{2}} \sin x \implies \sin x + \cos x = \sin x \] </li> <li>Вычитаем \(\sin x\) из обеих частей уравнения: \[ \sin x + \cos x - \sin x = \sin x - \sin x \implies \cos x = 0 \] </li> <li>Решаем уравнение \(\cos x = 0\): \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] </li> <li>Проверяем ограничения на \(x\) из условия логарифмического выражения: \[ 4 - x^2 > 0 \implies -2 < x < 2 \] </li> <li>Проверяем допустимые значения \(x\) из условия \(\sin x > 0\): \[ \sin x > 0 \implies x \in (0, \pi) \] </li> <li>Пересекаем найденные решения с ограничениями: \[ x = \frac{\pi}{2} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( x = \frac{\pi}{2} \)</p>