№22189

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнение с тангенсами и котангенсами ,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(\frac{1-tg\frac{x}{2}}{1-ctg\frac{x}{2}}=2sin\frac{x}{2}\)

Ответ

NaN

Решение № 22180:

Решим уравнение \(\frac{1 - \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{ctg} \frac{x}{2}} = 2 \sin \frac{x}{2}\) пошагово. <ol> <li>Заменим \(\operatorname{tg} \frac{x}{2}\) и \(\operatorname{ctg} \frac{x}{2}\) через \(\sin \frac{x}{2}\) и \(\cos \frac{x}{2}\): \[ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}, \quad \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \] </li> <li>Подставим эти выражения в уравнение: \[ \frac{1 - \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 - \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}} = 2 \sin \frac{x}{2} \] </li> <li>Упростим числитель и знаменатель: \[ \frac{\frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}} = 2 \sin \frac{x}{2} \] </li> <li>Умножим числитель и знаменатель на \(\sin \frac{x}{2}\) и \(\cos \frac{x}{2}\) соответственно: \[ \frac{\sin \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{\cos \frac{x}{2} (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})} = 2 \sin \frac{x}{2} \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \frac{\sin \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{\cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})} = 2 \sin \frac{x}{2} \] </li> <li>Сократим на \(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\): \[ \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = 2 \sin \frac{x}{2} \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \] </li> <li>Рассмотрим два случая: <ul> <li>\(\sin \frac{x}{2} = 0\): \[ \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] </li> <li>\(\sin \frac{x}{2} \neq 0\): \[ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 2 \] Решим уравнение \(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = 2\): \[ \sin \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{x}{2} \] Подставим \(\cos \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{2}\) в \(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 1\): \[ \sin^2 \frac{x}{2} + \left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{2}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \frac{x}{2} + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{4} = 1 \] \[ \frac{5 \sin^2 \frac{x}{2}}{4} = 1 \] \[ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{4}{5} \] \[ \sin \frac{x}{2} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \] \[ \frac{x}{2} = \arcsin \left(\pm \frac{2}{\sqrt{5}}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = 2 \arcsin \left(\pm \frac{2}{\sqrt{5}}\right) + 4k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] </li> </ul> </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(x = 2n\pi\) или \(x = 2 \arcsin \left(\pm \frac{2}{\sqrt{5}}\right) + 4k\pi\), где \(n, k \in \mathbb{Z}\)</p>