№22175

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, содержащие выражения вида ctg(αx) ± tg(αx) ,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(tg^{2}x+ctg^{2}x=\frac{8}{1+cos8x}-2\)

Ответ

NaN

Решение № 22166:

<ol> <li>Воспользуемся формулой для суммы квадратов тангенса и котангенса: $\operatorname{tg}^{2} x + \operatorname{ctg}^{2} x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$</li> <li>Приведем общий знаменатель: $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$</li> <li>Используем формулу для суммы четвёртых степеней синуса и косинуса: $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$</li> <li>Применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $\sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$</li> <li>Подставляем в формулу: $\frac{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$</li> <li>Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x$</li> <li>Подставляем $\sin^2 2x$ в нашу формулу: $\frac{1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x}{\frac{1}{4} \sin^2 2x} = \frac{4 - 2 \sin^2 2x}{\sin^2 2x} = \frac{4}{\sin^2 2x} - 2$</li> <li>Правая часть уравнения: $\frac{8}{1 + \cos 8x} - 2$</li> <li>Приравниваем левую и правую части: $\frac{4}{\sin^2 2x} - 2 = \frac{8}{1 + \cos 8x} - 2$</li> <li>Упрощаем уравнение: $\frac{4}{\sin^2 2x} = \frac{8}{1 + \cos 8x}$</li> <li>Перемножаем обе части на $\sin^2 2x (1 + \cos 8x)$: $4 (1 + \cos 8x) = 8 \sin^2 2x$</li> <li>Упрощаем: $4 + 4 \cos 8x = 8 \sin^2 2x$</li> <li>Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos 8x = 2 \cos^2 4x - 1$</li> <li>Подставляем в уравнение: $4 + 4 (2 \cos^2 4x - 1) = 8 \sin^2 2x$</li> <li>Упрощаем: $4 + 8 \cos^2 4x - 4 = 8 \sin^2 2x$</li> <li>Сокращаем: $8 \cos^2 4x = 8 \sin^2 2x$</li> <li>Решаем уравнение: $\cos^2 4x = \sin^2 2x$</li> <li>Используем формулу для косинуса: $\cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2}$</li> <li>Подставляем и упрощаем: $\frac{1 + \cos 8x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{2}$</li> <li>Приравниваем: $1 + \cos 8x = 1 - \cos 4x$</li> <li>Решаем: $\cos 8x = - \cos 4x$</li> <li>Используем формулу для косинуса: $\cos 8x = 2 \cos^2 4x - 1$</li> <li>Подставляем и упрощаем: $2 \cos^2 4x - 1 = - \cos 4x$</li> <li>Решаем квадратное уравнение: $2 \cos^2 4x + \cos 4x - 1 = 0$</li> <li>Находим корни: $\cos 4x = 0$ или $\cos 4x = -1$</li> <li>Для $\cos 4x = 0$: $4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$</li> <li>Для $\cos 4x = -1$: $4x = \pi + 2 \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$ или $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$</p>