№22105

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(sin2xcos2x-sinxcosx=0\)

Ответ

NaN

Решение № 22096:

<ol> <li>Используем формулу двойного угла для синуса и косинуса: \(\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x\) и \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\). </li> <li>Подставляем эти формулы в исходное уравнение: \(\frac{1}{2} \sin 4x - \frac{1}{2} \sin 2x = 0\). </li> <li>Умножаем все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \(\sin 4x - \sin 2x = 0\). </li> <li>Используем формулу суммы синусов: \(\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\). Подставляем \(A = 4x\) и \(B = 2x\): \(\sin 4x - \sin 2x = 2 \cos \left(\frac{4x + 2x}{2}\right) \sin \left(\frac{4x - 2x}{2}\right) = 2 \cos 3x \sin x\). </li> <li>Теперь уравнение принимает вид: \(2 \cos 3x \sin x = 0\). </li> <li>Уравнение будет выполняться, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: <ol> <li>Первый случай: \(\cos 3x = 0\). \(\cos 3x = 0\) при \(3x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Отсюда \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\), где \(k \in \mathbb{Z}\). </li> <li>Второй случай: \(\sin x = 0\). \(\sin x = 0\) при \(x = n\pi\), где \(n \in \mathbb{Z}\). </li> </ol> </li> <li>Объединяем решения из двух случаев: \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\) или \(x = n\pi\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\). </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\) или \(x = n\pi\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\).</p>