№22068

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, содержащие выражения вида sin⁴(αx) ± cos⁴(αx),

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(sin^{4}x+cos^{4}x=\frac{3}{2}cos^{2}2x-\frac{1}{4}\)

Ответ

NaN

Решение № 22059:

Для решения уравнения \( \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{3}{2} \cos^2 2x - \frac{1}{4} \), следуем шагам: <ol> <li>Используем формулу для суммы четвёртых степеней синуса и косинуса: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) \] </li> <li>Применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) = 1 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) \] </li> <li>Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \implies \sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x \] </li> <li>Подставляем \(\sin^2 2x\) в нашу формулу: \[ 2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x \] Тогда: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x \] </li> <li>Подставляем это выражение в исходное уравнение: \[ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \frac{3}{2} \cos^2 2x - \frac{1}{4} \] </li> <li>Умножаем все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей: \[ 4 - 2 \sin^2 2x = 6 \cos^2 2x - 1 \] </li> <li>Переносим все члены в одну сторону уравнения: \[ 4 - 2 \sin^2 2x - 6 \cos^2 2x + 1 = 0 \] \[ 5 - 2 \sin^2 2x - 6 \cos^2 2x = 0 \] </li> <li>Используем тождество \(\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1\): \[ 2 \sin^2 2x + 6 \cos^2 2x = 5 \] \[ 2 \sin^2 2x + 6 (1 - \sin^2 2x) = 5 \] \[ 2 \sin^2 2x + 6 - 6 \sin^2 2x = 5 \] \[ -4 \sin^2 2x + 6 = 5 \] \[ -4 \sin^2 2x = -1 \] \[ \sin^2 2x = \frac{1}{4} \] </li> <li>Решаем уравнение \(\sin^2 2x = \frac{1}{4}\): \[ \sin 2x = \pm \frac{1}{2} \] </li> <li>Находим решения для \(\sin 2x = \frac{1}{2}\): \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] </li> <li>Находим решения для \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\): \[ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \[ x = \pm \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] </p>