№22065

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, содержащие выражения вида sin⁴(αx) ± cos⁴(αx),

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(sin^{4}x+\frac{1}{2}=sin2x-cos^{4}x\)

Ответ

NaN

Решение № 22056:

<ol> <li>Преобразуем уравнение \( \sin^4 x + \frac{1}{2} = \sin 2x - \cos^4 x \) к виду, где все члены будут собраны на одной стороне уравнения: \[ \sin^4 x + \cos^4 x + \frac{1}{2} = \sin 2x \] </li> <li>Используем формулу для суммы четвёртых степеней синуса и косинуса: \[ (\sin x)^4 + (\cos x)^4 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) \] </li> <li>Применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ (\sin x)^4 + (\cos x)^4 = 1^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) = 1 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) \] </li> <li>Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \quad \text{и} \quad \sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x \] </li> <li>Подставляем \(\sin^2 2x\) в нашу формулу: \[ 2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x \] Тогда: \[ (\sin x)^4 + (\cos x)^4 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x \] </li> <li>Подставляем выражение для \((\sin x)^4 + (\cos x)^4\) в наше уравнение: \[ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x + \frac{1}{2} = \sin 2x \] Упрощаем: \[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \sin 2x \] \[ \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \sin 2x \] </li> <li>Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \sin^2 2x - \sin 2x = 0 \] Умножаем все члены на 2 для упрощения: \[ 3 - \sin^2 2x - 2 \sin 2x = 0 \] \[ \sin^2 2x + 2 \sin 2x - 3 = 0 \] </li> <li>Решаем квадратное уравнение относительно \(\sin 2x\): \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \quad \text{где} \quad t = \sin 2x \] Находим корни уравнения: \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] \[ t_1 = 1 \quad \text{и} \quad t_2 = -3 \] </li> <li>Рассматриваем допустимые значения для \(\sin 2x\): \[ \sin 2x = 1 \quad \text{или} \quad \sin 2x = -3 \] Однако, \(\sin 2x\) не может быть равен \(-3\), так как значения синуса лежат в интервале \([-1, 1]\). </li> <li>Решаем уравнение \(\sin 2x = 1\): \[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \)</p>