№22052

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения на применение формул преобразования произведения в сумму,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )sin7x=sin3xcos\left ( 5x-\frac{\pi }{2} \right ), -\frac{\pi }{2}< x< \frac{\pi }{2}\)

Ответ

NaN

Решение № 22043:

Решим уравнение \( \cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right) \sin 7x = \sin 3x \cos\left( 5x - \frac{\pi}{2} \right) \) при условии \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \). <ol> <li>Используем тригонометрические тождества для косинуса и синуса: \[ \cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x \quad \text{и} \quad \cos\left( 5x - \frac{\pi}{2} \right) = \sin 5x \] Подставляем эти тождества в уравнение: \[ \sin x \sin 7x = \sin 3x \sin 5x \] </li> <li>Применяем формулу удвоения: \[ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos(a - b) - \cos(a + b)] \] Подставляем \( a = x \) и \( b = 7x \), а также \( a = 3x \) и \( b = 5x \): \[ \frac{1}{2} [\cos(x - 7x) - \cos(x + 7x)] = \frac{1}{2} [\cos(3x - 5x) - \cos(3x + 5x)] \] Упрощаем: \[ \frac{1}{2} [\cos(-6x) - \cos(8x)] = \frac{1}{2} [\cos(-2x) - \cos(8x)] \] Используем чётность функции косинуса: \[ \frac{1}{2} [\cos(6x) - \cos(8x)] = \frac{1}{2} [\cos(2x) - \cos(8x)] \] Умножаем обе части на 2: \[ \cos(6x) - \cos(8x) = \cos(2x) - \cos(8x) \] Откуда получаем: \[ \cos(6x) = \cos(2x) \] </li> <li>Решаем уравнение \( \cos(6x) = \cos(2x) \): \[ 6x = 2x + 2\pi k \quad \text{или} \quad 6x = -2x + 2\pi k \] Решаем каждое из уравнений: \[ 4x = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi k}{2} \] \[ 8x = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi k}{4} \] </li> <li>Учитываем условие \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \): \[ x = \frac{\pi k}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] \[ x = \frac{\pi k}{4} \quad \Rightarrow \quad k = -1, 0, 1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{4}, 0, \frac{\pi}{4} \] </li> <li>Итоговые решения: \[ x = -\frac{\pi}{4}, 0, \frac{\pi}{4} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( x = -\frac{\pi}{4}, 0, \frac{\pi}{4} \)</p>