№22048

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения на применение формул преобразования произведения в сумму,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(cos\pi xsin7\pi x=cos3\pi xsin5\pi x.\) Число корней на \([0,1; 0,9]\)

Ответ

NaN

Решение № 22039:

Для решения уравнения \( \cos(\pi x) \sin(7\pi x) = \cos(3\pi x) \sin(5\pi x) \) на интервале \([0.1, 0.9]\), выполним следующие шаги: ```html <ol> <li>Применим формулу для произведения косинуса и синуса: \[ \cos(\pi x) \sin(7\pi x) = \frac{1}{2} \left[ \sin(8\pi x) + \sin(6\pi x) \right] \] \[ \cos(3\pi x) \sin(5\pi x) = \frac{1}{2} \left[ \sin(8\pi x) - \sin(2\pi x) \right] \] </li> <li>Приравняем выражения: \[ \frac{1}{2} \left[ \sin(8\pi x) + \sin(6\pi x) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin(8\pi x) - \sin(2\pi x) \right] \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на 2: \[ \sin(8\pi x) + \sin(6\pi x) = \sin(8\pi x) - \sin(2\pi x) \] </li> <li>Сократим одинаковые слагаемые: \[ \sin(6\pi x) = - \sin(2\pi x) \] </li> <li>Используем свойство нечётности синуса: \[ \sin(6\pi x) = \sin(-2\pi x) \] </li> <li>Приравняем аргументы синусов: \[ 6\pi x = -2\pi x + 2\pi k \quad \text{или} \quad 6\pi x = \pi - 2\pi x + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] </li> <li>Решим уравнения: \[ 6\pi x = -2\pi x + 2\pi k \implies 8\pi x = 2\pi k \implies x = \frac{k}{4} \] \[ 6\pi x = \pi - 2\pi x + 2\pi k \implies 8\pi x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{1 + 2k}{8} \] </li> <li>Найдём значения \( x \) в интервале \([0.1, 0.9]\): \[ x = \frac{k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = 0.25, 0.5, 0.75 \] \[ x = \frac{1 + 2k}{8}, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = 0.125, 0.375, 0.625, 0.875 \] </li> <li>Отфильтруем значения, которые попадают в интервал \([0.1, 0.9]\): \[ x = 0.25, 0.5, 0.75, 0.375, 0.625 \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( x = 0.25, 0.5, 0.75, 0.375, 0.625 \)</p> ``` Таким образом, число корней на интервале \([0.1, 0.9]\) равно 5.