№21986

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения на применение формул для sin(α + β ), cos(α + β ),

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(sin\left ( \frac{7\pi }{x} \right )sin(3\pi x)=cos\left ( \frac{7\pi }{x} \right )cos(3\pi x)\)

Ответ

NaN

Решение № 21977:

Решим уравнение \( \sin\left(\frac{7\pi}{x}\right) \sin(3\pi x) = \cos\left(\frac{7\pi}{x}\right) \cos(3\pi x) \). <ol> <li>Используем тождество для произведения синусов и косинусов: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] \] \[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] \] </li> <li>Подставляем \( A = \frac{7\pi}{x} \) и \( B = 3\pi x \): \[ \sin\left(\frac{7\pi}{x}\right) \sin(3\pi x) = \frac{1}{2} \left[\cos\left(\frac{7\pi}{x} - 3\pi x\right) - \cos\left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right)\right] \] \[ \cos\left(\frac{7\pi}{x}\right) \cos(3\pi x) = \frac{1}{2} \left[\cos\left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{x} - 3\pi x\right)\right] \] </li> <li>Приравниваем выражения: \[ \frac{1}{2} \left[\cos\left(\frac{7\pi}{x} - 3\pi x\right) - \cos\left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right)\right] = \frac{1}{2} \left[\cos\left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{x} - 3\pi x\right)\right] \] </li> <li>Умножаем обе части уравнения на 2: \[ \cos\left(\frac{7\pi}{x} - 3\pi x\right) - \cos\left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{x} - 3\pi x\right) \] </li> <li>Переносим все косинусы на одну сторону: \[ 2 \cos\left(\frac{7\pi}{x} - 3\pi x\right) = 2 \cos\left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right) \] </li> <li>Делим обе части уравнения на 2: \[ \cos\left(\frac{7\pi}{x} - 3\pi x\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right) \] </li> <li>Используем тождество для косинусов: \[ \cos A = \cos B \implies A = 2k\pi \pm B \quad \text{для некоторого целого числа } k \] </li> <li>Применяем это тождество к нашему уравнению: \[ \frac{7\pi}{x} - 3\pi x = 2k\pi \pm \left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right) \] </li> <li>Рассматриваем два случая: <ul> <li>Первый случай: \[ \frac{7\pi}{x} - 3\pi x = 2k\pi + \frac{7\pi}{x} + 3\pi x \] Этот случай невозможен, так как он приводит к противоречию. </li> <li>Второй случай: \[ \frac{7\pi}{x} - 3\pi x = 2k\pi - \left(\frac{7\pi}{x} + 3\pi x\right) \] \[ \frac{7\pi}{x} - 3\pi x = 2k\pi - \frac{7\pi}{x} - 3\pi x \] \[ 2\frac{7\pi}{x} = 2k\pi \] \[ \frac{7\pi}{x} = k\pi \] \[ x = \frac{7}{k} \] </li> </ul> </li> <li>Таким образом, решения уравнения: \[ x = \frac{7}{k} \quad \text{для целых } k \neq 0 \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( x = \frac{7}{k} \) для целых \( k \neq 0 \)</p>