№21511

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} sinx+cosy=1,\\ sinx-cosy=0. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21502:

Решим систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} \sin x + \cos y = 1, \\ \sin x - \cos y = 0. \end{matrix}\right.\) <ol> <li>Сложим оба уравнения: \[ (\sin x + \cos y) + (\sin x - \cos y) = 1 + 0 \implies 2 \sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} \] </li> <li>Вычтем второе уравнение из первого: \[ (\sin x + \cos y) - (\sin x - \cos y) = 1 - 0 \implies 2 \cos y = 1 \implies \cos y = \frac{1}{2} \] </li> <li>Решим уравнение \(\sin x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] </li> <li>Решим уравнение \(\cos y = \frac{1}{2}\): \[ y = \frac{\pi}{3} + 2m\pi \quad \text{или} \quad y = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \[ \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ y = \frac{\pi}{3} + 2m\pi \quad \text{или} \quad y = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}. \end{matrix} \right. \] </p>