№21510

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} sinx+4cosy=3,\\ 5sinx-2cosy=4. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21501:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} \sin x + 4 \cos y = 3, \\ 5 \sin x - 2 \cos y = 4. \end{matrix} \right. \] Выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим \(\sin x\) как \(a\) и \(\cos y\) как \(b\). Тогда система примет вид: \[ \left\{ \begin{matrix} a + 4b = 3, \\ 5a - 2b = 4. \end{matrix} \right. \] </li> <li>Решим систему линейных уравнений методом Гаусса или методом подстановки. Для начала выразим \(a\) из первого уравнения: \[ a = 3 - 4b. \] </li> <li>Подставим выражение для \(a\) во второе уравнение: \[ 5(3 - 4b) - 2b = 4. \] </li> <li>Раскроем скобки и упростим: \[ 15 - 20b - 2b = 4 \implies 15 - 22b = 4. \] </li> <li>Решим уравнение относительно \(b\): \[ 15 - 4 = 22b \implies 11 = 22b \implies b = \frac{11}{22} = \frac{1}{2}. \] </li> <li>Подставим \(b\) обратно в выражение для \(a\): \[ a = 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 2 = 1. \] </li> <li>Теперь у нас есть \(\sin x = a = 1\) и \(\cos y = b = \frac{1}{2}\). Найдём углы \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют этим условиям: \[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] </li> <li>Найдём углы \(y\), которые удовлетворяют \(\cos y = \frac{1}{2}\): \[ \cos y = \frac{1}{2} \implies y = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}. \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad y = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad k, m \in \mathbb{Z}\).</p>