№21503

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x+y=-\frac{4\pi }{3},\\ sinxsiny=\frac{3}{4}. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21494:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = -\frac{4\pi}{3}, \\ \sin x \sin y = \frac{3}{4}. \end{matrix} \right. \] следуем следующим шагам: <ol> <li>Из первого уравнения выражаем \( y \) через \( x \): \[ y = -\frac{4\pi}{3} - x \] </li> <li>Подставляем \( y \) во второе уравнение: \[ \sin x \sin \left( -\frac{4\pi}{3} - x \right) = \frac{3}{4} \] </li> <li>Используем свойство синуса: \(\sin(-a) = -\sin(a)\): \[ \sin x \left( -\sin \left( \frac{4\pi}{3} + x \right) \right) = \frac{3}{4} \] </li> <li>Используем периодичность синуса: \(\sin \left( \frac{4\pi}{3} + x \right) = \sin \left( x + \frac{4\pi}{3} \right)\): \[ -\sin x \sin \left( x + \frac{4\pi}{3} \right) = \frac{3}{4} \] </li> <li>Используем формулу для синуса суммы углов: \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\): \[ -\sin x \left( \sin x \cos \frac{4\pi}{3} + \cos x \sin \frac{4\pi}{3} \right) = \frac{3}{4} \] </li> <li>Подставляем значения \(\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}\) и \(\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ -\sin x \left( \sin x \left( -\frac{1}{2} \right) + \cos x \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) = \frac{3}{4} \] </li> <li>Упрощаем выражение: \[ -\sin x \left( -\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = \frac{3}{4} \] \[ \sin x \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = \frac{3}{4} \] </li> <li>Раскрываем скобки: \[ \frac{1}{2} \sin^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x = \frac{3}{4} \] </li> <li>Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\): \[ \frac{1}{2} \sin^2 x + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2x = \frac{3}{4} \] </li> <li>Подставляем \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \[ \frac{1}{2} (1 - \cos^2 x) + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2x = \frac{3}{4} \] </li> <li>Упрощаем уравнение: \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2x = \frac{3}{4} \] \[ -\frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2x = \frac{1}{4} \] </li> <li>Умножаем все на 4: \[ -2 \cos^2 x + \sqrt{3} \sin 2x = 1 \] </li> <li>Решаем полученное уравнение для \( x \). Для этого можно использовать графический метод или численные методы, чтобы найти значения \( x \), удовлетворяющие уравнению. </li> <li>Подставляем найденные значения \( x \) в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения \( y \). </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> Решение системы уравнений требует численных методов или графического анализа для нахождения точных значений \( x \) и \( y \).</p>