№21434

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(cos^{2}x-12sinxcosx-13sin^{2}x=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21425:

Решим уравнение \( \cos^2 x - 12 \sin x \cos x - 13 \sin^2 x = 0 \) пошагово: <ol> <li>Разделим уравнение на \(\cos^2 x + \sin^2 x\), что равно 1 (основное тригонометрическое тождество): \[ \frac{\cos^2 x - 12 \sin x \cos x - 13 \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = 0 \] </li> <li>Разделим числитель и знаменатель на \(\cos^2 x\), что приведет к: \[ \frac{1 - 12 \tan x - 13 \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = 0 \] </li> <li>Получим уравнение относительно \(\tan x\): \[ 1 - 12 \tan x - 13 \tan^2 x = 0 \] </li> <li>Решим полученное квадратное уравнение: \[ 13 \tan^2 x + 12 \tan x - 1 = 0 \] </li> <li>Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ \tan x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 13 \), \( b = 12 \), \( c = -1 \). </li> <li>Подставим значения \( a \), \( b \) и \( c \): \[ \tan x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-1)}}{2 \cdot 13} \] \[ \tan x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 52}}{26} \] \[ \tan x = \frac{-12 \pm \sqrt{196}}{26} \] \[ \tan x = \frac{-12 \pm 14}{26} \] </li> <li>Найдем два корня: \[ \tan x = \frac{-12 + 14}{26} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13} \] \[ \tan x = \frac{-12 - 14}{26} = \frac{-26}{26} = -1 \] </li> <li>Найдем соответствующие значения \( x \): \[ x_1 = \arctan \left( \frac{1}{13} \right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = \arctan (-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( x_1 = \arctan \left( \frac{1}{13} \right) + \pi k, \quad x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)</p>