№21408

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(6sin^{2}x-3sinxcosx-cos^{2}x=1\)

Ответ

NaN

Решение № 21399:

Решим уравнение \(6 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x - \cos^2 x = 1\) пошагово. <ol> <li>Выразим косинус через синус: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \] Подставим это в исходное уравнение: \[ 6 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x - (1 - \sin^2 x) = 1 \] </li> <li>Преобразуем уравнение: \[ 6 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x - 1 + \sin^2 x = 1 \] \[ 7 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x - 1 = 1 \] \[ 7 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x - 2 = 0 \] </li> <li>Используем формулу двойного угла для синуса и косинуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \quad \text{и} \quad \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] \[ 7 \sin^2 x - \frac{3}{2} \sin 2x - 2 = 0 \] </li> <li>Выразим \(\sin^2 x\) через \(\cos 2x\): \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] Подставим это в уравнение: \[ 7 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) - \frac{3}{2} \sin 2x - 2 = 0 \] \[ \frac{7}{2} (1 - \cos 2x) - \frac{3}{2} \sin 2x - 2 = 0 \] \[ \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cos 2x - \frac{3}{2} \sin 2x - 2 = 0 \] \[ \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cos 2x - \frac{3}{2} \sin 2x - 2 = 0 \] \[ \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cos 2x - \frac{3}{2} \sin 2x - \frac{4}{2} = 0 \] \[ \frac{3}{2} - \frac{7}{2} \cos 2x - \frac{3}{2} \sin 2x = 0 \] \[ - \frac{7}{2} \cos 2x - \frac{3}{2} \sin 2x = - \frac{3}{2} \] \[ 7 \cos 2x + 3 \sin 2x = 3 \] </li> <li>Разделим уравнение на 3: \[ \frac{7}{3} \cos 2x + \sin 2x = 1 \] </li> <li>Выразим \(\sin 2x\) через \(\cos 2x\): \[ \sin 2x = 1 - \frac{7}{3} \cos 2x \] </li> <li>Проверим возможные значения \(\cos 2x\) и \(\sin 2x\): \[ \cos 2x = \frac{3}{7} \quad \text{и} \quad \sin 2x = 1 - \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} = 0 \] \[ \cos 2x = 0 \quad \text{и} \quad \sin 2x = 1 \] </li> <li>Решим уравнения для \(x\): \[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] \[ 2x = \arccos \left(\frac{3}{7}\right) + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \arccos \left(\frac{3}{7}\right) + k\pi \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{2} \arccos \left(\frac{3}{7}\right) + k\pi\)</p>