№21362

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение: \(sinx+tgx=\frac{1}{cosx}-cosx\)

Ответ

NaN

Решение № 21353:

Решим уравнение \( \sin x + \tan x = \frac{1}{\cos x} - \cos x \) пошагово. <ol> <li>Перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества: \[ \sin x + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} - \cos x \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(\cos x\) (предполагая, что \(\cos x \neq 0\)): \[ \sin x \cos x + \sin x = 1 - \cos^2 x \] </li> <li>Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin x \cos x + \sin x = \sin^2 x \] </li> <li>Вынесем \(\sin x\) за скобки: \[ \sin x (\cos x + 1) = \sin^2 x \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \(\sin x\) (предполагая, что \(\sin x \neq 0\)): \[ \cos x + 1 = \sin x \] </li> <li>Перенесем \(\cos x\) в одну сторону уравнения: \[ \sin x - \cos x = 1 \] </li> <li>Используем тождество \(\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)\): \[ \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\): \[ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] </li> <li>Найдем \(x\), используя обратную функцию синуса: \[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \] </li> <li>Решим уравнения для \(x\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi + 2k\pi \] </li> <li>Проверим решения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению. \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{не удовлетворяет условию} \quad \cos x \neq 0 \] \[ x = \pi + 2k\pi \quad \text{удовлетворяет условию} \quad \cos x \neq 0 \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)</p>