№21309

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, простейшие тригонометрические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найдите все корни уравнения на заданном промежутке: \(cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}, [0, \pi ]\)

Ответ

NaN

Решение № 21300:

<ol> <li>Используем основное тригонометрическое тождество для двойного угла косинуса: $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$</li> <li>Подставляем $\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $2 \cos^2 x - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$</li> <li>Решаем уравнение относительно $\cos^2 x$: $2 \cos^2 x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$<br> $\cos^2 x = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}$</li> <li>Находим $\cos x$: $\cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}}$<br> $\cos x = \pm \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$</li> <li>Находим $x$ на промежутке $[0, \pi]$: $\cos x = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$, $x = \arccos \left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\right)$<br> $\cos x = -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$, $x = \arccos \left(-\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\right)$</li> <li>Преобразуем $\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ к угловым значениям: $2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $2x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$</li> <li>Находим $x$ на промежутке $[0, \pi]$: $x = \frac{\pi}{12}$ или $x = \frac{11\pi}{12}$</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> $x = \frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{11\pi}{12}$</p>