Экзамены с этой задачей: Задачи на совместную работу Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на совместную работу, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Для перевозки 90т груза было затребовано некоторое количество машин. В связи с тем, что на каждую машину погрузился на 0,5т меньше, дополнительно было заказано 6 машин. Сколько машин было затребовано изначально?

Ответ

30

Решение № 17627:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим количество машин, затребованных изначально, как \( x \).</li> <li>Пусть каждая машина может перевезти \( y \) тонн груза. Тогда: \[ x \cdot y = 90 \] </li> <li>В связи с тем, что на каждую машину погрузилось на 0,5т меньше, грузоподъемность каждой машины стала \( y - 0,5 \) тонн. При этом дополнительно было заказано 6 машин. Тогда: \[ (x + 6) \cdot (y - 0,5) = 90 \] </li> <li>Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} x \cdot y = 90 \\ (x + 6) \cdot (y - 0,5) = 90 \end{cases} \] </li> <li>Распишем второе уравнение: \[ (x + 6) \cdot (y - 0,5) = xy - 0,5x + 6y - 3 = 90 \] </li> <li>Подставим \( xy = 90 \) из первого уравнения во второе уравнение: \[ 90 - 0,5x + 6y - 3 = 90 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ -0,5x + 6y - 3 = 0 \] </li> <li>Перенесем свободный член вправо: \[ -0,5x + 6y = 3 \] </li> <li>Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} xy = 90 \\ -0,5x + 6y = 3 \end{cases} \] </li> <li>Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = \frac{90}{x} \] </li> <li>Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ -0,5x + 6 \cdot \frac{90}{x} = 3 \] </li> <li>Умножим все члены уравнения на \( x \) для избавления от знаменателя: \[ -0,5x^2 + 540 = 3x \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону: \[ -0,5x^2 - 3x + 540 = 0 \] </li> <li>Умножим все члены уравнения на -2 для удобства: \[ x^2 + 6x - 1080 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = -1080 \). </li> <li>Вычислим дискриминант: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1080) = 36 + 4320 = 4356 \] </li> <li>Вычислим корни уравнения: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{4356}}{2} = \frac{-6 \pm 66}{2} \] </li> <li>Найдем два корня: \[ x_1 = \frac{60}{2} = 30 \quad \text{(положительный корень)} \] \[ x_2 = \frac{-72}{2} = -36 \quad \text{(отрицательный корень, не подходит)} \] </li> </ol> Таким образом, решение задачи показывает, что изначально было затребовано \( x = 30 \) машин. Ответ: 30