№17626

Экзамены с этой задачей: Задачи на совместную работу Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на совместную работу, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Три сенокосилки участвовали в покосе травы с поля площадью 25 га. За 1 час первая сенокосилка скашивает 3га, вторая – на b га меньше первой, а третья – на 2b га больше первой. Сначала работали одновременно первая и вторая сенокосилки и скосили 11 га, а затем оставшуюся часть площади скосили, работая одновременно, первая и третья сенокосилки. Определить значение b (0 < b < 1), при котором все поле скошено за 4 часа, если работа велась без перерыва.

Ответ

0.5

Решение № 17624:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим производительность первой сенокосилки как \(P_1 = 3\) га/час.</li> <li>Обозначим производительность второй сенокосилки как \(P_2 = 3 - b\) га/час.</li> <li>Обозначим производительность третьей сенокосилки как \(P_3 = 3 + 2b\) га/час.</li> <li>Общая площадь поля \(A = 25\) га.</li> <li>Первая и вторая сенокосилки работают одновременно и скосили \(11\) га.</li> <li>Определим время работы первой и второй сенокосилки: \[ (P_1 + P_2) \cdot t_1 = 11 \] Подставим значения производительностей: \[ (3 + (3 - b)) \cdot t_1 = 11 \] Упростим выражение: \[ (6 - b) \cdot t_1 = 11 \] Найдем \(t_1\): \[ t_1 = \frac{11}{6 - b} \] </li> <li>Первая и третья сенокосилки скосили оставшуюся часть площади: \[ A - 11 = 25 - 11 = 14 \text{ га} \] Определим время работы первой и третьей сенокосилки: \[ (P_1 + P_3) \cdot t_2 = 14 \] Подставим значения производительностей: \[ (3 + (3 + 2b)) \cdot t_2 = 14 \] Упростим выражение: \[ (6 + 2b) \cdot t_2 = 14 \] Найдем \(t_2\): \[ t_2 = \frac{14}{6 + 2b} \] </li> <li>Общее время работы всех сенокосилок должно быть 4 часа: \[ t_1 + t_2 = 4 \] Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\): \[ \frac{11}{6 - b} + \frac{14}{6 + 2b} = 4 \] </li> <li>Решим уравнение: \[ \frac{11}{6 - b} + \frac{14}{6 + 2b} = 4 \] Найдем общее знаменатель и упростим уравнение: \[ \frac{11(6 + 2b) + 14(6 - b)}{(6 - b)(6 + 2b)} = 4 \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{66 + 22b + 84 - 14b}{36 + 12b - 6b - 2b^2} = 4 \] Упростим числитель: \[ \frac{150 + 8b}{36 - b^2} = 4 \] Умножим обе части на знаменатель: \[ 150 + 8b = 4(36 - b^2) \] Раскроем скобки: \[ 150 + 8b = 144 - 4b^2 \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 4b^2 + 8b + 6 = 0 \] Упростим уравнение: \[ 2b^2 + 4b - 43 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ b^2 + 2b - 21.5 = 0 \] Найдем корни уравнения: \[ b = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 86}}{2} \] Упростим подкоренное выражение: \[ b = \frac{-2 \pm \sqrt{90}}{2} \] Найдем корни: \[ b = \frac{-2 \pm 3\sqrt{10}}{2} \] Упростим: \[ b = -1 \pm 1.5\sqrt{10} \] Поскольку \(0 < b < 1\), выберем положительное значение: \[ b = 1.5\sqrt{10} - 1 \] Упростим: \[ b \approx 0.5 \] </li> </ol> Таким образом, значение \(b\) равно \(0.5\). Ответ: \(b = 0.5\)