№17624

Экзамены с этой задачей: Задачи на совместную работу Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на совместную работу, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали первое поле, а затем два из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла 12 часов. Если бы три комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы 20 часов. За какое время два комбайна могут убрать первое поле?

Ответ

9

Решение № 17622:

Для решения задачи о комбайнах выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим производительность одного комбайна как \( r \) (га/час), а объем работы (площадь полей) как \( W \).</li> <li>Согласно условию, три комбайна вместе убрали первое поле, а затем два из них убрали второе поле за 12 часов. Это можно записать как: \[ 3r \cdot t_1 + 2r \cdot t_2 = W \] где \( t_1 \) — время, затраченное на уборку первого поля, а \( t_2 \) — время, затраченное на уборку второго поля. Поскольку вся работа заняла 12 часов, имеем: \[ t_1 + t_2 = 12 \] </li> <li>Если бы три комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы 20 часов. Это можно записать как: \[ 3r \cdot t_3 + r \cdot t_4 = W \] где \( t_3 \) — время, затраченное тремя комбайнами на выполнение половины работы, а \( t_4 \) — время, затраченное одним комбайном на выполнение оставшейся части работы. Поскольку вся работа заняла 20 часов, имеем: \[ t_3 + t_4 = 20 \] </li> <li>Теперь у нас есть две системы уравнений: \[ \begin{cases} 3r \cdot t_1 + 2r \cdot t_2 = W \\ t_1 + t_2 = 12 \end{cases} \] и \[ \begin{cases} 3r \cdot t_3 + r \cdot t_4 = W \\ t_3 + t_4 = 20 \end{cases} \] </li> <li>Решим первую систему уравнений. Подставим \( t_2 = 12 - t_1 \) в первое уравнение: \[ 3r \cdot t_1 + 2r \cdot (12 - t_1) = W \] Упростим: \[ 3r \cdot t_1 + 24r - 2r \cdot t_1 = W \] \[ r \cdot t_1 + 24r = W \] \[ r \cdot t_1 = W - 24r \] \[ t_1 = \frac{W - 24r}{r} \] </li> <li>Решим вторую систему уравнений. Подставим \( t_4 = 20 - t_3 \) в первое уравнение: \[ 3r \cdot t_3 + r \cdot (20 - t_3) = W \] Упростим: \[ 3r \cdot t_3 + 20r - r \cdot t_3 = W \] \[ 2r \cdot t_3 + 20r = W \] \[ 2r \cdot t_3 = W - 20r \] \[ t_3 = \frac{W - 20r}{2r} \] </li> <li>Теперь у нас есть \( t_1 \) и \( t_3 \). Подставим их в уравнения: \[ t_1 = \frac{W - 24r}{r} \] \[ t_3 = \frac{W - 20r}{2r} \] </li> <li>Приравняем производительности: \[ 3r \cdot \left( \frac{W - 24r}{r} \right) + 2r \cdot (12 - \frac{W - 24r}{r}) = W \] Упростим: \[ 3(W - 24r) + 2(12r - W + 24r) = W \] \[ 3W - 72r + 24r - 2W + 48r = W \] \[ W = W \] </li> <li>Теперь найдем время, за которое два комбайна могут убрать первое поле. Пусть \( T \) — это время. Тогда: \[ 2r \cdot T = W - 24r \] \[ T = \frac{W - 24r}{2r} \] </li> <li>Подставим \( W = 2r \cdot 12 \) (так как три комбайна вместе убрали первое поле за 12 часов): \[ T = \frac{2r \cdot 12 - 24r}{2r} \] \[ T = \frac{24r - 24r}{2r} \] \[ T = 0 \] </li> Таким образом, два комбайна могут убрать первое поле за 0 часов. </ol> Ответ: 0