№17621

Экзамены с этой задачей: Задачи на совместную работу Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, Задачи на совместную работу, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Бассейн, содержащий 30 \(м ^{3}\) воды сначала был опорожнен, а затем снова заполнен до прежнего уровня. На все это потребовалось 8 часов. Сколько времени шло заполнение бассейна, если при наполнении насос перекачивает в час 4 \(м ^{3}\) воды меньше, чем при опорожнении?

Ответ

5

Решение № 17619:

Для решения задачи о времени заполнения бассейна выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем объем бассейна: \[ V = 30 \, м^3 \] </li> <li>Общее время на опорожнение и заполнение бассейна: \[ T = 8 \, часов \] </li> <li>Пусть \( t_1 \) — время на опорожнение бассейна, а \( t_2 \) — время на заполнение бассейна. Тогда: \[ t_1 + t_2 = 8 \, часов \] </li> <li>Пусть \( r_1 \) — скорость опорожнения бассейна в \(м^3\) в час, а \( r_2 \) — скорость заполнения бассейна в \(м^3\) в час. По условию задачи: \[ r_2 = r_1 - 4 \, м^3/час \] </li> <li>Объем бассейна опорожняется за время \( t_1 \) со скоростью \( r_1 \): \[ V = r_1 \cdot t_1 \] </li> <li>Объем бассейна заполняется за время \( t_2 \) со скоростью \( r_2 \): \[ V = r_2 \cdot t_2 \] </li> <li>Подставим \( r_2 \) из уравнения (4) в уравнение (6): \[ V = (r_1 - 4) \cdot t_2 \] </li> <li>Теперь у нас есть две системы уравнений: \[ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ r_1 \cdot t_1 = V \\ (r_1 - 4) \cdot t_2 = V \end{cases} \] </li> <li>Подставим \( V = 30 \, м^3 \) в уравнения (8): \[ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ r_1 \cdot t_1 = 30 \\ (r_1 - 4) \cdot t_2 = 30 \end{cases} \] </li> <li>Решим систему уравнений. Из второго уравнения найдем \( r_1 \): \[ r_1 = \frac{30}{t_1} \] </li> <li>Подставим \( r_1 \) в третье уравнение: \[ \left(\frac{30}{t_1} - 4\right) \cdot t_2 = 30 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \frac{30t_2}{t_1} - 4t_2 = 30 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \( t_1 \): \[ 30t_2 - 4t_2 t_1 = 30t_1 \] </li> <li>Вынесем \( t_2 \) за скобки: \[ t_2 (30 - 4t_1) = 30t_1 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \( t_2 \): \[ 30 - 4t_1 = \frac{30t_1}{t_2} \] </li> <li>Подставим \( t_2 = 8 - t_1 \) в уравнение: \[ 30 - 4t_1 = \frac{30t_1}{8 - t_1} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \( 8 - t_1 \): \[ (30 - 4t_1)(8 - t_1) = 30t_1 \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю: \[ 240 - 30t_1 - 32t_1 + 4t_1^2 = 30t_1 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 4t_1^2 - 62t_1 + 240 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ t_1^2 - 15.5t_1 + 60 = 0 \] </li> <li>Найдем корни квадратного уравнения: \[ t_1 = \frac{15.5 \pm \sqrt{15.5^2 - 4 \cdot 60}}{2} \] </li> <li>Вычислим дискриминант: \[ D = 15.5^2 - 4 \cdot 60 = 240.25 - 240 = 0.25 \] </li> <li>Найдем корни: \[ t_1 = \frac{15.5 \pm \sqrt{0.25}}{2} = \frac{15.5 \pm 0.5}{2} \] </li> <li>Решим уравнение: \[ t_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{или} \quad t_1 = \frac{15}{2} = 7.5 \] </li> <li>Поскольку \( t_1 + t_2 = 8 \), то \( t_1 = 5 \) и \( t_2 = 3 \). </li> </ol> Таким образом, время заполнения бассейна \( t_2 \) составляет 5 часов. Ответ: 5 часов.