Задача №17618

№17618

Экзамены с этой задачей: Задачи на совместную работу Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, Задачи на совместную работу, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Бассейн наполняется из двух труб за 7,5 часов. Если открыть только первую трубу, то бассейн наполнится на 8 часов быстрее, чем если открыть только вторую трубу. Сколько времени будет наполняться бассейн второй трубой?

Ответ

20

Решение № 17616:

Для решения задачи о наполнении бассейна из двух труб выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим время, за которое первая труба наполняет бассейн, как \( t_1 \), а время, за которое вторая труба наполняет бассейн, как \( t_2 \).</li> <li>Из условия задачи известно, что бассейн наполняется из двух труб за 7,5 часов. Это означает, что суммарная производительность двух труб равна \( \frac{1}{7.5} \) бассейна в час.</li> <li>Производительность первой трубы равна \( \frac{1}{t_1} \), а производительность второй трубы равна \( \frac{1}{t_2} \).</li> <li>Суммарная производительность двух труб выражается уравнением: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{7.5} \] </li> <li>Из условия задачи также известно, что первая труба наполняет бассейн на 8 часов быстрее, чем вторая труба. Это означает: \[ t_1 = t_2 - 8 \] </li> <li>Подставим \( t_1 = t_2 - 8 \) в уравнение суммарной производительности: \[ \frac{1}{t_2 - 8} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{7.5} \] </li> <li>Найдем общее знаменатель и упростим уравнение: \[ \frac{t_2 + (t_2 - 8)}{(t_2 - 8) \cdot t_2} = \frac{1}{7.5} \] \[ \frac{2t_2 - 8}{t_2^2 - 8t_2} = \frac{1}{7.5} \] </li> <li>Перемножим обе части уравнения на \( t_2^2 - 8t_2 \): \[ 2t_2 - 8 = \frac{t_2^2 - 8t_2}{7.5} \] \[ 2t_2 - 8 = \frac{t_2^2 - 8t_2}{7.5} \cdot 7.5 \] \[ 2t_2 - 8 = t_2^2 - 8t_2 \] </li> <li>Приведем уравнение к квадратному виду: \[ t_2^2 - 10t_2 + 8 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение методом дискриминанта или факторизации: \[ t_2 = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2} \] \[ t_2 = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} \] \[ t_2 = \frac{10 \pm 2\sqrt{17}}{2} \] \[ t_2 = 5 \pm \sqrt{17} \] </li> <li>Выберем положительное значение, так как время не может быть отрицательным: \[ t_2 = 5 + \sqrt{17} \] </li> </ol> Таким образом, время, за которое вторая труба наполняет бассейн, есть \( t_2 = 5 + \sqrt{17} \) часов. Ответ: \( 5 + \sqrt{17} \)

Поделиться в социальных сетях

Комментарии (0)