№17617

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, Задачи на совместную работу, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Два каменщика сложили вместе стену за 20 дней. За сколько дней выполнил бы эту работу каждый из них в одиночку, если известно, что первому пришлось бы работать на 9 дней больше второго?

Ответ

{36;45}

Решение № 17615:

Для решения задачи о двух каменщиках, сложивших стену вместе за 20 дней, и определения времени, которое потребовалось бы каждому из них в одиночку, выполним следующие шаги: <ol> <li>Пусть \( x \) — количество дней, за которое второй каменщик выполнил бы работу в одиночку.</li> <li>Тогда первый каменщик выполнил бы работу в одиночку за \( x + 9 \) дней.</li> <li>Производительность второго каменщика равна \( \frac{1}{x} \) работы в день.</li> <li>Производительность первого каменщика равна \( \frac{1}{x+9} \) работы в день.</li> <li>При работе вместе их суммарная производительность равна \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+9} \).</li> <li>Они выполняют работу вместе за 20 дней, следовательно, их суммарная производительность равна \( \frac{1}{20} \) работы в день.</li> <li>Составим уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{20} \] </li> <li>Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x+9 + x}{x(x+9)} = \frac{1}{20} \] </li> <li>Упростим числитель: \[ \frac{2x+9}{x(x+9)} = \frac{1}{20} \] </li> <li>Перекрестное умножение: \[ 20(2x+9) = x(x+9) \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем подобные: \[ 40x + 180 = x^2 + 9x \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону: \[ x^2 - 31x - 180 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение методом факторизации или формулой квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -31 \), \( c = -180 \). </li> <li>Вычислим дискриминант: \[ b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681 \] </li> <li>Найдем корни: \[ x = \frac{31 \pm \sqrt{1681}}{2} = \frac{31 \pm 41}{2} \] </li> <li>Получим два решения: \[ x_1 = \frac{31 + 41}{2} = \frac{72}{2} = 36 \] \[ x_2 = \frac{31 - 41}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] </li> <li>Поскольку \( x \) — количество дней, оно должно быть положительным, следовательно, \( x = 36 \).</li> <li>Таким образом, второй каменщик выполнил бы работу в одиночку за 36 дней.</li> <li>Первый каменщик выполнил бы работу в одиночку за \( 36 + 9 = 45 \) дней.</li> </ol> Ответ: 36 и 45 дней.