Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Из точки А, лежащей на окружности, выходит одновременно два тела, движущиеся равномерно по этой окружности в противоположных направлениях. Через некоторое время они встретились, и оказалось, что первое тело прошло на 10см больше второго. После встречи тела продолжали путь, причем первое тело пришло в точку А через 9с, а второе – через 16с после встречи. Найдите длину окружности, по которой двигались тела.

Ответ

70

Решение № 17585:

Для решения задачи о длине окружности, по которой двигались два тела, выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим длину окружности как \( L \).</li> <li>Пусть \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости первого и второго тела соответственно.</li> <li>После встречи первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе — через 16 секунд. Это значит, что: \[ v_1 \cdot 9 = L \quad \text{и} \quad v_2 \cdot 16 = L \] </li> <li>Выразим скорости через длину окружности: \[ v_1 = \frac{L}{9} \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{L}{16} \] </li> <li>Первое тело прошло на 10 см больше второго до встречи. Пусть \( t \) — время до встречи. Тогда: \[ v_1 \cdot t - v_2 \cdot t = 10 \] </li> <li>Подставим выражения для скоростей: \[ \left(\frac{L}{9}\right) t - \left(\frac{L}{16}\right) t = 10 \] </li> <li>Вынесем \( t \) за скобки: \[ t \left(\frac{L}{9} - \frac{L}{16}\right) = 10 \] </li> <li>Найдем общее значение для скоростей: \[ t \left(\frac{16L - 9L}{144}\right) = 10 \] </li> <li>Упростим выражение в скобках: \[ t \left(\frac{7L}{144}\right) = 10 \] </li> <li>Решим уравнение относительно \( t \): \[ t = \frac{10 \cdot 144}{7L} \] </li> <li>Из условия задачи известно, что тела встретились через время \( t \), равное половине суммы времен, затраченных на возвращение в точку А после встречи: \[ t = \frac{9 + 16}{2} = 12.5 \] </li> <li>Подставим \( t \) в уравнение: \[ 12.5 = \frac{10 \cdot 144}{7L} \] </li> <li>Решим уравнение относительно \( L \): \[ L = \frac{10 \cdot 144}{7 \cdot 12.5} \] </li> <li>Вычислим значение \( L \): \[ L = \frac{1440}{87.5} \approx 16.455 \text{ см} \] </li> </ol> Таким образом, длина окружности, по которой двигались тела, составляет примерно 16.455 см. Ответ: 16.455 см