№17548

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

По графику поезд должен проходить перегон АВ, равный 20 км, с постоянной скоростью. Но с заданной скоростью он прошел полпути и остановился на 3 минуты; чтобы вовремя прийти в пункт В, ему пришлось остальные полпути идти на 10 км/ч быстрее. Второй раз поезд простоял там же уже 5 минут. С какой скоростью он должен был идти оставшуюся часть пути, чтобы прибыть в пункт В по расписанию?

Ответ

60

Решение № 17546:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Определим полное время поездки \(T\) и скорость поезда \(V\) в случае, если бы он шел с постоянной скоростью:</li> \[ T = \frac{20 \text{ км}}{V} \] <li>Определим время, за которое поезд прошел первую половину пути (10 км) с постоянной скоростью \(V\):</li> \[ t_1 = \frac{10 \text{ км}}{V} \] <li>Поезд остановился на 3 минуты, что эквивалентно 0.05 часа:</li> \[ t_{\text{stop1}} = 0.05 \text{ часа} \] <li>Определим время, за которое поезд прошел вторую половину пути (10 км) со скоростью \(V + 10 \text{ км/ч}\):</li> \[ t_2 = \frac{10 \text{ км}}{V + 10} \] <li>Поезд остановился во второй раз на 5 минут, что эквивалентно 0.0833 часа:</li> \[ t_{\text{stop2}} = 0.0833 \text{ часа} \] <li>Суммарное время поездки с учетом остановок должно быть равно времени поездки с постоянной скоростью:</li> \[ t_1 + t_{\text{stop1}} + t_2 + t_{\text{stop2}} = T \] <li>Подставим выражения для времен в уравнение:</li> \[ \frac{10}{V} + 0.05 + \frac{10}{V + 10} + 0.0833 = \frac{20}{V} \] <li>Упростим уравнение:</li> \[ \frac{10}{V} + \frac{10}{V + 10} + 0.1333 = \frac{20}{V} \] <li>Вычтем \(\frac{10}{V}\) из обеих частей уравнения:</li> \[ \frac{10}{V + 10} + 0.1333 = \frac{10}{V} \] <li>Умножим обе части уравнения на \(V(V + 10)\), чтобы избавиться от знаменателей:</li> \[ 10V + 0.1333V(V + 10) = 10(V + 10) \] <li>Раскроем скобки и упростим:</li> \[ 10V + 0.1333V^2 + 1.333V = 10V + 100 \] <li>Перенесем все члены на одну сторону уравнения:</li> \[ 0.1333V^2 + 1.333V - 100 = 0 \] <li>Умножим всё уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:</li> \[ 1.333V^2 + 13.33V - 1000 = 0 \] <li>Решим квадратное уравнение:</li> \[ V^2 + 10V - 750 = 0 \] <li>Найдем дискриминант \(D\):</li> \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 100 + 3000 = 3100 \] <li>Найдем корни уравнения:</li> \[ V = \frac{-10 \pm \sqrt{3100}}{2} \] <li>Поскольку скорость должна быть положительной, выберем положительный корень:</li> \[ V = \frac{-10 + \sqrt{3100}}{2} \approx \frac{-10 + 55.68}{2} \approx 22.84 \text{ км/ч} \] </ol> Таким образом, поезд должен был идти со скоростью примерно 22.84 км/ч, чтобы прибыть в пункт В по расписанию. Ответ: 22.84 км/ч