№17535

Экзамены с этой задачей: Уравнения смешанного типа

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнения: \( \log _{5}x+\log _{x}25=\coth ^{2}\frac{25\pi }{6} \)

Ответ

5; 25

Решение № 17533:

ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 5. Имеем \( \log _{5}x+\frac{2}{\log _{5}x}=\left ( \coth \left ( 4\pi +\frac{\pi }{6} \right ) \right )^{2}, \log _{5}x+\frac{2}{\log _{5}x}=3\Rightarrow \log _{2}^{5}x-3\log _{5}x+2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{5}x \), получаем \( \left (\log _{5}x \right )_{1}=1 \) или \( \left ( \log _{5}x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=5; x_{2}=25 \)