№17532

Экзамены с этой задачей: Уравнения смешанного типа

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнения: \( \sqrt{\log _{3}x^{9}}-4\log _{9}\sqrt{3x}=1 \)

Ответ

3; 81

Решение № 17530:

ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ log_{ 3} x> 0, x> 1 & & \end{matrix}\right. \sqrt{\log _{3}x^{9}}=1+4\log _{9}\sqrt{3x}\Leftrightarrow \sqrt{9\log _{3}x}=1+\log _{3}3x\Leftrightarrow \sqrt{9\log _{3}x}=1+\log _{3}3+\log _{3}x\Leftrightarrow \sqrt{9\log _{3}x}=2+\log _{3}x \) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим \( 9\log _{3}x=4+4\log _{3}x+\log _{3}^{2}x\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-5\log _{3}x+ 4 =0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{3}x \) , имеем \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=1 , \left ( \log _{3}x \right )_{2}=4 \), откуда \( x_{1}=3, x_{2}=3^{4}=81 \)