№17497

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнения: \( x^{2-\lg ^{2}x-\lg x^{2}}-\frac{1}{x}=0 \)

Ответ

0,001; 1; 10

Решение № 17495:

ОДЗ: \( x> 0 \) Запишем уравнение в виде \( x^{2-\lg ^{2}x-2\lg x}=x^{-1} \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим \( \lg x^{2-\lg ^{2}x-2\lg x}=\lg x^{-1} \Leftrightarrow \left ( 2-\lg ^{2}x-2\lg x \right \)lg x=-\lg x \Leftrightarrow \left ( 2-\lg ^{2}x-2\lg x \right \)lg x+\lg x=0 \Leftrightarrow \lg x\left ( \lg^{2} x+\lg x-3 \right )=0 \), откуда \( \lg x=0 \), или \( \lg^{2} x+\lg x-3=0 \) Из первого уравнения \( x_{1}=10^{\circ}=1 \) Решая второе уравнение как квадратное относительно \( \lg x=-3 \), откуда \( \lg x=1 , x_{2}=10^{-3}=0.001, x_{3}=10\)