№17496

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Доказать, что если \( y=2^{x^{2}} \) и \( z=2^{ y^{2}} \) , то \( x=\pm \sqrt{0.5\log _{2}\log _{2}z} \) , и указать все \( z \) , при которых \( х \) принимает действительные значения.

Ответ

\( z\geq 2 )\

Решение № 17494:

По условию \( y> 0 \) и \( z> 0\) . Прологарифмировав обе части равенства по основанию 2, получим \( \log _{2}y=\log _{2}2^{x^{2}} , \log _{2}y=x^{2} \) , откуда \( x=\pm \sqrt{\log _{2}y} \) . Аналогично \( z=2^{y^{2}}\Rightarrow y=\sqrt{\log _{2}z} \) Таким образом, \( x=\pm \sqrt{\log _{2}\sqrt{\log _{2}z}}=\pm \sqrt{0.5\log _{2}\log _{2}z} \) . Отсюда \( \log _{2}\log _{2}z\geq 0 , \log _{2} z\geq 1 , z\geq ? \)